Wyjaśnienie pojęć i zagadnień z metod numerycznych.

Interpolacja Interpolacj Niech będą dane wartości funkcji w punktach  x 0 ,  x1 , . . .  xN . Punkty te są nazywane węzłami  interpolacji. Należy wyznaczyć konkretną funkcję  W n(x)  (tzn. znaleźć jej postać  funkcyjną) by spełniony był warunek: n n n n n y x W y x W y x W = = = ) ( , , ) ( , ) ( 1 1 0 0 K to znaczy by funkcja  W(x)  przecinała punkty  (x ,y ),(x ,y ), . . . ,(x ,y ). (x 0,y0),(x1,y1), . . . ,(xn,yn) Twierdzenie (o istnieniu i jednoznaczności): Jeżeli liczby  x 0, x1, x2, …, xn  są parami różne, to istnieje dokładnie jeden  wielomian stopnia  n  taki, że     W n(xi)=yi 0  ≤  i  ≤  n Dowód: jednoznaczność Niech  W n(x)  i  Un(x)  będą dwoma wielomianami stopnia  n  spełniającymi powyższy  warunek. Z tego wynika, że wielomian  W n(x)-Un(x)  zeruje się w  n+1  punktach.  Pozostaje to w sprzeczności z faktem, że wielomian stopnia  n  może mieć tylko  n miejsc zerowych, więc  W n(x)=Un(x).  Interpolacja Interpolacj cd dowodu: istnienie dowód indukcyjny: dla  i=0  wielomian stały  W 0(x)=y0  spełnia warunek interpolacyjny. Załóżmy, że istnieje  wielomian stopnia  k-1  taki, że  W k-1(xi)=yi 0  ≤  i  ≤  k-1.  Jak z jego pomocą skonstruować  wielomian interpolacyjny stopnia  k  ? Ano wyraźmy  W k(x)  jako: W k(x)= Wk-1(x)+c(x-x0)(x-x1)(x-x2)…(x-xk-1) Stopień tego wielomianu nie przewyższa  k  i spełnia on wszystkie wyżej wymienione  warunki dla  0  ≤  i  ≤  k-1.  Należy jeszcze wyznaczyć stałą  c.  Robimy to z warunku:  W k(xk)=yk to znaczy  W k(xk)= Wk-1(xk)+c(xk-x0)(xk-x1)(xk-x2)…(xk-xk-1) THE END Dygresja: Powyższy dowód stanowi najprostszy sposób interpolacji wielomianowej (Newtona)  - ale o tem potem  Interpolacja  Interpolacja – sformułowanie macierzowe sformułowanie macierzow W(x) f(x)   x1  x2   x2            xn Najczęściej zakładamy jej ogólną postać jako kombinację liniową funkcji  bazowych: ) ( x i ϕ i=0, . . . ,N i N i i N a x x W ⋅ = ∑ =0 ) ( ) ( ϕ             = N a a a A M 1 0 [ ] ) ( ) ( ) ( 1 0 x x x N ϕ ϕ ϕ K = Φ Interpolacja  Interpolacja – sformułowanie macierzowe sformułowanie macierzow A x W N ⋅ Φ = ) ( i N i i N a x x W ⋅ = ∑ =0 ) ( ) ( ϕ           = . ) ( . . . ) ( ) ( ) ( . .

(…)

… stąd obliczenie macierzy
do jej odwrotnej jest bardzo czasochłonne.
Interpolacja wielomianowa w tej postaci nie jest stosowana.
Interpolacja
Interpolacja Newtona.
Jeżeli węzły interpolacji są od siebie równoodległe to znaczy
x0, x1=x0+h, x2=x0+2h, . . . ,xn=x0+nh
to do interpolacji można stosować wzory interpolacyjne Newtona.
q=
x − x0
h
wielomian interpolujący:
WN ( x ) = a0 + a1q + a2 q (q − 1) + a3…
…
Rozmieszczenie węzłów
interpolacji decyduje o
maksymalnym błędzie
interpolacji.
dla wzorów Newtona:
q 
Rn ( x ) ≤ M N +1 h n +1 

 n + 1
Wartość n+1 pochodnej funkcji f(x) tj |f(n+1)(x)| można
szacować jako:
∆n +1 y
M n +1 = max n +1
h
Interpolacja
8
6
4
2
2
4
6
8
10
8
6
4
2
2
4
6
8
Interpolacja wielomianami Czebyszewa
Definicja funkcji bazowych Czebyszewa
dla
T0 = 1
x ∈ − 11
,
T1 = x
T0 ( x ) = 1
T2 = 2…
... zobacz całą notatkę