Ciągłość funki i twierdzenie Cauchy'ego

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 588
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Pobierz notatkę
Podgląd dokumentu
Ciągłość funki i twierdzenie Cauchy'ego - strona 1 Ciągłość funki i twierdzenie Cauchy'ego - strona 2

Fragment notatki:


CI Ą GŁO ŚĆ FUNKCJI POMI Ę DZY PRZESTRZENIAMI METRYCZNYMI Definicja (Twierdzenie Hainego o ci ą gło ś ci funkcji) Dane s ą dwie przestrzenie metryczne (X,d), (Y, δ ) oraz funkcja f: X → Y. Funkcj ę tak ą nazywamy ci ą gł ą w x  X gdy dla dowolnego ci ą gu  ( )  1 n n x elementów zbioru X takiego, Ŝ e ( , ) → 0 n n → d x x mówimy, Ŝ e ( ( ), ( )) → 0 n n → δ f x f x . Mówimy, Ŝ e funkcja jest ci ą gła z X w Y, gdy jest ci ą gła w ka Ŝ dym punkcie x. Twierdzenie (Cauchy'ego) Funkcja f:( X,d) → (Y, δ ) jest ci ą gła w punkcie x  X wtedy i tylko wtedy gdy spełnia nast ę puj ą cy warunek:   0  δ ( x ,  ) 0  y  X d ( x , y )  δ ( x , y ) ⇒ d ( f ( x ), f ( y ))   Definicja (kontrakcja) Funkcj ę f:X → Y, gdzie X i Y s ą przestrzeniami metrycznymi z metrykami d i ρ nazywamy kontrakcj ą , gdy  k  (ai??)  x,y  X ρ (f(x), f(y) ≤ Kd(x,y). Definica Funkcja ta nazywa si ę funkcj ą kontrakcyjn ą , gdy  x ≠ y  X ρ (f(x),f(y)) ≤ d(x,y). Ka Ŝ da kontrakcja jest funkcj ą kontrakcyjn ą , ale nie ka Ŝ da funkcja kontrakcyjna jest kontrakcja. Twierdzenie Banacha o kontrakcji Niech (X,d) b ę dzie zupełn ą przestrzeni ą metryczn ą . Je Ŝ eli funkcja T jest kontrakcj ą z (X,d) w sam ą siebie, to istnieje dokładnie jeden punkt x  X taki, Ŝ e Tx=x (taki punkt x nazywa si ę punktem stałym dla odwzorowania T). Dowód Niech x,y  X. Poniewa Ŝ T jest kontrakcj ą , to mamy d(Tx,Ty)

(…)

… teraz, Ŝe jest to ciąg Cauchy'ego. Stosując nierówność trójkąta mamy dla
dowolnych nN i m=n+p, gdzie pN i d(xn,xm)≤d(xn,xn+1)+d(xn+1,xn+2)+…+d(xn+p-1,xn+p) =
d(Tnx0, Tnx1)+ d(Tn+1x0, Tn+1x1)+…+ d(Tn+p-1x0, Tn+p-1x1). Stąd uŜywając nierówności (#)
dostajemy: d(xn,xm)≤Kn(x0,x1)+ Kn+1(x0,x1)+…+ Kn+p-1(x0,x1)=[Kn, Kn+1, …, Kn+p-1)d(x0,x1)=
L1d(x0,x1). Obliczamy teraz Ln. mamy Ln= Kn, Kn+1, …, Kn+p-1/ K
LnK= Kn+1, Kn+2, …, Kn+p-1+ Kn+p. Odejmując te równości stronami dostajemy Ln(1-K)= Kn-
Kn+p
n n
p
p
n n p n
n K
K
K
K
K
K
K
K
K
K K
L



  



 

1
1
1
1
(1 )
1 1
Pokazaliśmy zatem, Ŝe n,pN 0
1
1
( , ) →

   k→
n
p
n n p K
K
K
d x x
Stąd wynika, Ŝe ( , ) 0 , → n m m n→ d x x , czyli, Ŝe 
1 ( )n n x jest ciągiem Cauchy'ego. Z zupełności
przestrzeni X wiemy, Ŝe istnieje xX…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz