ANALIZA KANONICZNA Ogólna charakterystyka analiza kanoniczna stanowi uogólnienie liniowej regresji wielorakiej na dwa zbiory zmiennych (pozwala badać związki zachodzące pomiędzy dwoma zbiorami zmiennych)
związki te są interpretowane jako zależności między dwoma typami nowych zmiennych zwanych zmiennymi kanonicznymi (czynnikami)
pierwszy typ zmiennych kanonicznych jest liniową funkcją pierwszego zbioru zmiennych wejściowych, a drugi liniową funkcją drugiego zbioru zmiennych wejściowych
zmienne kanoniczne są wyznaczane w taki sposób, aby maksymalnie wyjaśniać zależności liniowe pomiędzy zmiennymi wejściowymi należącymi do różnych zbiorów (dąży się do maksymalizacji kwadratu współczynnika korelacji między zmiennymi kanonicznymi)
pierwsza para zmiennych kanonicznych, syntetyzując zależności pomiędzy zbiorami zmiennych wejściowych, wyjaśnia większość związków między tymi zbiorami, ale nie wyjaśnia ich w pełni, co powoduje konieczność wyznaczania kolejnych par zmiennych kanonicznych
każda ze zmiennych należących do kolejnej pary zmiennych kanonicznych nie jest skorelowana z żądną ze zmiennych kanonicznych tego samego typu gdyż wyjaśnia zależności między zbiorami zmiennych wejściowych w innych wymiarach
kolejna para zmiennych kanonicznych wyznaczana jest na takich samych zasadach jak i pierwsza para, tzn. tak aby maksymalizować współczynnik korelacji między nimi z tym, że korelacje pomiędzy parami zmiennych kanonicznych są coraz słabsze
ALGORYTM ANALIZY KANONICZNEJ budowa macierzy danych wejściowych składających się z dwóch podzbiorów zmiennych, z których jeden możemy traktować jako zbiór zmiennych objaśniających, a drugi zmiennych objaśnianych:
, i=1,...,n; j=1,2,...,q; j'=q+1, q+2,...,m (7.1)
przedstawienie nowych zmiennych, nazywanych zmiennymi kanonicznymi, jako kombinacji liniowych zmiennych wejściowych, które zostały poddane standaryzacji:
oraz (7.2)
gdzie:
- macierz zmiennych kanonicznych pierwszego typu ( s x n ), przy czym u li jest wartością l -tej zmiennej kanonicznej w i -tym obiekcie,
- macierz zmiennych kanonicznych drugiego typu ( s x n ), przy czym v li jest wartością l -tej zmiennej kanonicznej w i -tym obiekcie,
- transponowana macierz wag kanonicznych ( s x q ), przy czym a jl jest wagą zmiennej kanonicznej pierwszego typu,
- transponowana macierz wag kanonicznych ( s x ( m-q )), przy czym b j'l jest wagą kanoniczną j' -tej zmiennej dla l -tej zmiennej kanonicznej drugiego typu.
(…)
… przeprowadzamy stosując statystykę testową o postaci:
(7.13)
statystyka ta ma, przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej, asymptotycznie rozkład chi-kwadrat o liczbie stopni swobody:
(7.14)
weryfikacja istotności par zmiennych kanonicznych odbywa się w sposób iteracyjny:
jeżeli wartość statystyki testowej jest mniejsza od wartości krytycznej, przy przyjętym poziomie istotności, to przynajmniej współczynnik…
… korelacji liniowej pomiędzy zmiennymi pierwotnymi, a zmiennymi kanonicznymi:
, j=1,2,...,q; l=1,2,...,s, (7.19)
, j'=q+1, q+2,...,m; l=1,2,...,s. (7.20)
kwadrat współczynnika korelacji, czyli współczynnik determinacji, wskazuje jaka część wariancji danej zmiennej wejściowej jest wyjaśniana przez daną zmienną kanoniczną, tym samym przy interpretacji zmiennych kanonicznych bierzemy pod uwagę zmienne…
… danego typu przez zmienne kanoniczne drugiego typu są współczynniki redundancji o postaci:
, l=1,2,...,s, (7.23)
, l=1,2,...,s. (7.24)
…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)