Zasady wyznaczania wariancji i wag dla funkcji wielkości obserwowanych Zgodnie z teorią estymacji punktowej pierwiastek kwadratowy z wariancji estymatora nieobciążonego nosi nazwę błędu średniego.
Każdą funkcję wielkości obserwowanych postaci nieliniowej
(4.1.1)
można zapisać w formie liniowej, wykorzystując pierwsze wyrazy rozwinięcia funkcji w szereg Taylora
(4.1.2)
przy czym oznacza obliczoną wartość funkcji (4.1.1) dla ustalonych wartości , zaś oznaczają różniczki (przyrosty) do wartości .
Jeżeli stanowią zmienne niezależne (nieskorelowane), czyli
(4.1.3)
wtedy wariancję funkcji (4.1.1) można zapisać wzorem (por. (3.5.42))
. (4.1.4)
Po wprowadzeniu oznaczenia odchylenia standardowego wzór (4.1.4) przyjmie postać
(4.1.5)
i w geodezyjnych procedurach analiz nosi nazwę prawa narastania błędów średnich dla wielkości nieskorelowanych . Przyjmując a priori wartości lub ich estymatory , można określić wartość wariancji lub odchylenia standardowego dla dowolnie ustalonej funkcji.
Dla przykładu rozpatrzmy jak wyraża się wariancja (średni błąd) długości boku, zdefiniowany funkcją współrzędnych punktów końcowych. Zakładamy, że współrzędne punktów końcowych są względem siebie niezależne.
(4.1.6)
Obliczając pochodne cząstkowe otrzymamy
, (4.1.7)
przy czym stanowi ustaloną wartość, - azymut boku , zaś , oraz , oznaczają różniczki współrzędnych punktów końcowych. Stosując wzór na obliczanie wariancji dla wielkości nieskorelowanych otrzymamy
, (4.1.8)
lub w postaci (4.1.9)
Zakładając dalsze uproszczenia, że otrzymamy
(4.1.10)
Jeżeli w funkcji (4.1.1) stanowią zmienne skorelowane za pomocą macierzy G , wtedy
(4.1.11)
przy czym oznacza wariancję standaryzowaną dla wielkości .
Oznaczając wektor kolumnowy pochodnych cząstkowych przez F , czyli
(4.1.12) prawo wyznaczania wariancji (narastania błędów średnich) dla wielkości skorelowanych (por. wzór (3.5.41)) przyjmuje postać
(4.1.13)
Uwzględniając w (4.1.13) estymator macierzy oraz , otrzymuje się estymator wariancji, czyli .
Dla funkcji postaci (4.1.6) prawo narastania błędów średnich dla skorelowanych współrzędnych punktów końcowych wyrazi się wzorem
(4.1.14)
Z porównania wzorów (4.1.8) i (4.1.14) widać, że związek (4.1.8) jest szczególnym przypadkiem wzoru (4.1.14), gdy wszystkie kowariancje są równe zero.
Stosując prawo narastania wariancji dla funkcji liniowych, zamiast obliczania pochodnych cząstkowych, należy dokonać zgrupowania współczynników dla poszczególnych zmiennych
(…)
… mianowanych, wtedy należałoby ustalać oddzielnie dla poszczególnych grup wielkości o wspólnym wymiarze.
Jeżeli R jest macierzą stopnia , czyli składa się z s wektorów kolumnowych utworzonych z pochodnych cząstkowych (por. (4.1.12)), to macierz kowariancji dla tych wektorów można zapisać wzorem (por. (3.5.46)),
, (4.1.20)
który stanowi uogólnioną zasadę wyznaczania wariancji dla s funkcji o n zmiennych…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)