METODY CZYNNIKOWE Metody czynnikowe stanowią zespół metod i procedur statystycznych pozwalających na zredukowanie dużej liczby zmiennych do kilku wzajemnie nieskorelowanych czynników. Zachowują one stosunkowo dużą część informacji tkwiących w zmiennych pierwotnych, a jednocześnie każda z nich jest nośnikiem innych treści merytorycznych.
analiza głównych składowych
klasyczna analiza czynnikowa
analiza kanoniczna
analiza korespondencji
analiza dyskryminacyjna
ANALIZA GŁÓWNYCH SKŁADOWY CH Ogólna charakterystyka polega na przekształceniu obserwowalnych zmiennych wejściowych w nowe, nieobserwowalne i zarazem nieskorelowane zmienne nazywane głównymi składowymi (czynnikami)
każda z głównych składowych jest liniową funkcją zmiennych wejściowych
główne składowe są tak uporządkowane, aby wariancje kolejnych głównych składowych (stanowiące miarę ich zasobów informacyjnych o badanym zjawisku) były coraz mniejsze
suma wariancji wszystkich zmiennych wejściowych jest równa sumie wariancji głównych składowych, co oznacza że przekształcenie zmiennych wejściowych w główne składowe nie prowadzi do żadnych strat informacji o badanym zjawisku kilka pierwszych głównych składowych zawiera zdecydowaną większość informacji o badanym zjawisku, dostarczanych przez zmienne wejściowe, co pozwala na redukcję liczby głównych składowych przy możliwie małej stracie informacji wejściowych
ALGORYTM ANALIZY GŁÓWNYCH SKŁADOWYCH budowa macierzy danych wejściowych o postaci:
, j= 1,2 ,.. .,m ; i= 1,2 ,...,n , (5.1)
gdzie:
x j i - wartość j -tej zmiennej w i -tym obiekcie.
przedstawienie zmiennych wejściowych, po ich uprzedniej standaryzacji, jako liniowej kombinacji głównych składowych (czynników):
Z = WF (5.2)
gdzie:
Z = [ z ji ] - wystandaryzowana macierz obserwacji ( m x n ), przy czym z ji jest wartością wystandaryzowanej j -tej zmiennej w i -tym obiekcie,
W = [ w jl ] - macierz ładunków głównych składowych ( m x s ), przy czym w jl jest wartością ładunku l -tej głównej składowej dla j -tej zmiennej,
F = [ f li ] - macierz głównych składowych (czynników) (
(…)
… się, ze względu na standaryzację zmiennych, w środku ciężkości rozważanego zbioru punktów reprezentujących obiekty
elementy niezbędne do wyznaczania konfiguracji wektorów (wzajemne położenie wektorów względem siebie, długości oraz kątów między nimi) zawiera macierz korelacji R
długości wektorów wyznaczają elementy na głównej przekątnej macierzy R, a kąty pomiędzy wektorami jej pozostałe elementy
długości…
… sferyczności Barletta
weryfikacja hipotezy zerowej, że macierz korelacji jest macierzą jednostkową, czyli że wszystkie współczynniki korelacji pomiędzy zmiennymi wejściowymi są równe zero:
, o liczbie stopni swobody:
.
w przypadku braku podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej powinniśmy odstąpić od stosowania analizy głównych składowych
OCENA STOPNIA ADEKWATNOŚCI MACIERZY KORELACJI
współczynnik Kaisera-Mayera…
… i mogą służyć do interpretacji poszczególnych składowych
ZAŁOŻENIA ANALIZY GŁÓWNYCH SKŁADOWYCH
Normalność rozkładu zmiennych wejściowych
Stosowanie analizy głównych składowych wyłącznie do opisu powiązań między zmiennymi wejściowymi nie wymaga przyjęcia założenia co do normalności rozkładów zmiennych w populacji. Jednak w przypadku włączenia do analiz wnioskowania statystycznego konieczne jest przyjęcie…
… głównych składowych jest macierz korelacji R o postaci:
(5.5)
w pierwszym etapie analizy poszukujemy ładunków pierwszej głównej składowej, której wariancja powinna mieć maksymalny udział w sumie wariancji zmiennych wejściowych
ponieważ główne składowe są nieskorelowane zależność pomiędzy zasobami informacyjnymi danej zmiennej, a ładunkami głównych składowych można przedstawić następująco:
, j=1,2,...,m…
… będące elementami wektora w1 musimy rozwiązać układ m-równań jednorodnych o s-niewiadomych o postaci:
, (5.8)
gdzie:
I=[diag(1)] - macierz jednostkowa (s x s),
λ1 - pierwiastek charakterystyczny (wartość własna) równania wyznacznikowego odpowiadający pierwszemu wektorowi charakterystycznemu,
a1=[aj1] - unormowany wektor własny
(m x 1), odpowiadający 1-szemu największemu pierwiastkowi charakterystycznemu…
… (wartości własnej).
układ (5.8) ma rozwiązanie niezerowe gdy spełniony jest warunek:
(5.9)
wyrażenie (5.9) jest wielomianem charakterystycznym s-tego stopnia macierzy R ze względu na λ, przy czym istnieje s-pierwiastków charakterystycznych, niekoniecznie różnych
wektor wl jest wektorem własnym macierzy R, odpowiadającym największemu z jej pierwiastków charakterystycznych
pierwiastki charakterystyczne…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)