2.2. Zmienne losowe jednowymiarowe Zmienną losową nazywamy dowolną funkcję X , która zdarzeniom elementarnym zbioru przyporządkowuje wartości liczbowe ze zbioru R . Funkcję X można traktować jako odwzorowanie zbioru w zbiór R , co można zapisać lub , dla każdego x .
Wyróżniamy dwa zasadnicze typy zmiennych losowych: zmienne losowe typu skokowego , oraz zmienne losowe typu ciągłego .
2.2.1. Zmienne losowe typu skokowego Zmienna losowa X jest typu skokowego (dyskretnego), jeżeli istnieje skończony albo przeliczalny zbiór jej wartości taki, że
(2.2.1)
Funkcją rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nazywamy funkcję p określoną na zbiorze równością
(2.2.2)
albo, co jest równoważne, dwuwierszową tablicą
(2.2.3)
Jeżeli zbiór punktów przedstawimy na wykresie w prostokątnym układzie współrzędnych, to odcinki określające rzędne tworzą histogram funkcji prawdopodobieństwa.
Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję określoną na zbiorze R następującym wzorem
(2.2.4)
Własności:
dla każdego ,
Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości z przedziału jest równe przyrostowi dystrybuanty F między punktami a , b , czyli
(2.2.5)
Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X dowolnej, ustalonej wartości określa prawostronna granica dystrybuanty F w punkcie , czyli
(2.2.6)
Jeżeli jest dana funkcja prawdopodobieństwa albo dystrybuanta zmiennej losowej, to oznacza, że dany jest rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej.
Jeżeli na zbiorze zmiennej losowej X skokowej określimy nową funkcję
(2.2.7)
to równość (2.2.7), określona na przestrzeni zdarzeń elementarnych , jest nową zmienną losową typu skokowego U , zwaną funkcją zmiennej losowej X o wartościach skokowych , gdzie . Prawdopodobieństwo dla nowej zmiennej losowej U , gdy funkcja będzie różnowartościowa, będzie identyczne, czyli . Gdy funkcja nie jest funkcją różnowartościową, to ten sam punkt skokowy może odpowiadać więcej niż jednemu punktowi skokowemu , wtedy prawdopodobieństwo dla punktu stanowi sumę prawdopodobieństw wszystkich odpowiadających punktów , czyli
(2.2.8)
2.2.2. Zmienne losowe typu ciągłego Zmienną losową X przyjmującą wszystkie wartości z ustalonych przedziałów, dla której istnieje nieujemna funkcja taka, że dystrybuantę F zmiennej losowej X można przedstawić w postaci:
dla (2.2.9)
nazywamy zmienną losową ciągłą (absolutnie ciągłą), a funkcję jej gęstością (funkcją gęstości prawdopodobieństwa).
(…)
… zmiennej losowej X od jej wartości przeciętnej stanowi nową zmienną losową wyrażoną funkcją . Za pomocą tej zmiennej losowej definiuje się inne charakterystyki liczbowe zmiennej losowej, zwane momentami centralnymi i oznaczane przez , czyli
(2.2.16)
Jeżeli w definicjach (2.2.16) zamiast wartości przeciętnej wstawimy stałą wartość a, to powyższe parametry noszą nazwę momentów względem stałej a rzędu s. Moment absolutny rzędu s definiuje się jako: .
Moment absolutny rzędu pierwszego stanowi wartość przeciętną zmiennej losowej. Moment centralny rzędu drugiego nosi nazwę wariancji. W analizach statystycznych wartość przeciętną oznaczamy przez , zaś wariancję oznaczamy przez lub , przy czym pierwiastek kwadratowy wariancji stanowi odchylenie standardowe .
Do oznaczenia wariancji zmiennej losowej X…
… losowej są następujące:
. (2.2.25)
Powyższa zmienna losowa opisuje doświadczenie losowe, w którym wyniki mające pozytywną cechę otrzymują wartość , zaś wyniki nie mające tej cechy otrzymują wartość .
2.2.5.3. Rozkład dwumianowy
Zmienna losowa K typu skokowego ma rozkład dwumianowy (rozkład Bernoulliego) z parametrami , , , jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa jest w postaci:
(2.2.26)
Wartości…
… jego gęstość definiuje się wzorem
(2.2.44)
Podstawiając we wzorze (2.2.43) za r kolejne numery momentów otrzymuje się następujące wartości charakterystyk liczbowych rozkładu chi-kwadrat:
wartość przeciętna odpowiada liczbie stopni swobody,
wariancja odpowiada podwójnej liczbie stopni swobody,
współczynnik asymetrii ,
współczynnik spłaszczenia (ekscesu) .
Z uwagi na to, że jest zawsze dodatni, rozkład chi…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)