To tylko jedna z 7 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
2.3. Zmienne losowe dwuwymiarowe Jeżeli pewne wielkości (zbiorowość) będą badane ze względu na dwie cechy, lub wiele cech, np. długość boku ze względu na współrzędne jej punktów końcowych, wartość nieruchomości ze względu na jej atrybuty itp., to takie zmienne będą nazywane wielowymiarowymi zmiennymi losowymi.
2.3.1. Dwuwymiarowa zmienna losowa i jej rozkład prawdopodobieństwa Niech X oraz Y będą zmiennymi losowymi określonymi niekoniecznie na tej samej przestrzeni probabilistycznej. Parę zmiennych losowych nazywamy dwuwymiarową zmienną losową lub dwuwymiarowym wektorem losowym.
Dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej nazywamy funkcję F zmiennych , która dla każdej pary liczb rzeczywistych przyjmuje wartości równe prawdopodobieństwu zdarzenia polegającego na tym, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą od x i zmienna losowa Y przyjmie wartość mniejszą od y , czyli
(2.3.1)
Własności dystrybuanty:
dystrybuanta jest funkcją niemalejącą i co najmniej lewostronnie ciągłą względem każdego argumentu x lub y .
2.3.1.1. Zmienna losowa typu skokowego Dwuwymiarową zmienną losową , która przyjmuje przeliczalną liczbę par wartości , ale każdą z prawdopodobieństwem:
(2.3.2)
przy czym , nazywamy dwuwymiarową zmienną losową skokową (dyskretną).
Funkcję (2.3.2), która wartościom przyporządkowuje odpowiednie prawdopodobieństwo nazywamy funkcją rozkładu prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej . Znając funkcję (2.3.2) można wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej i odwrotnie.
Jeśli dwuwymiarowa zmienna losowa przyjmuje skończoną liczbę par wartości , to funkcję rozkładu prawdopodobieństwa wygodnie jest przedstawić w tablicy dwudzielczej postaci:
...
...
...
(2.3.3)
...
...
...
...
...
...
...
...
Rozkład brzegowy zmiennych losowych typu skokowego Przyjmując oznaczenia (2.3.3), zawarte w ostatniej kolumnie i ostatnim wierszu, można zapisać, że
(2.3.4)
(2.3.5)
lub w postaci skróconej:
(2.3.6)
(2.3.7)
Funkcje (2.3.6) i (2.3.7), określające rozkład prawdopodobieństwa jednej zmiennej losowej przy dowolnych wartościach drugiej zmiennej losowej w rozkładzie dwuwymiarowym, wyznaczają rozkłady brzegowe poszczególnych zmiennych. Z tablicy (2.3.3) widać, że rozkład brzegowy zmiennej losowej
(…)
…, zaś odpowiednikiem wariancji - macierz momentów centralnych rzędu drugiego, nazywana też macierzą kowariancji i oznaczana przez
(2.3.32)
Macierz jest to macierz symetryczna i posiada następujące własności:
(2.3.33)
czyli
(2.3.34)
Współczynnik korelacji
Ważnym parametrem dwuwymiarowej zmiennej losowej jest współczynnik korelacji definiowany wzorem
(2.3.35)
Z nierówności (2.3.34) wynika, że , stąd…
… w rozkładzie brzegowym zmiennej losowej X,
, , wtedy określa wartość przeciętną w rozkładzie brzegowym zmiennej losowej X,
, wtedy , określa moment zwykły rzędu s w rozkładzie brzegowym zmiennej losowej Y,
i , wtedy , określa wartość przeciętną w rozkładzie brzegowym zmiennej losowej Y.
Momenty centralne dwuwymiarowej zmiennej losowej
Momentem centralnym mieszanym rzędu , dwuwymiarowej zmiennej losowej…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)