Zdarzenia losowe i ich prawdopodobieństwo

2.1. Zdarzenia losowe i ich prawdopodobieństwo 2.1.1. Określenie działań na zdarzeniach losowych Doświadczenie losowe D , to realizacja (rzeczywista bądź tylko myślowa) określonego zespołu warunków, wraz z góry określonym interesującym zbiorem wyników. Poszczególne wyniki doświadczenia traktujemy jako zdarzenia elementarne, a zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jako przestrzeń zdarzeń elementarnych.
W zagadnieniach praktycznych najczęściej są rozważane nie pojedyncze zdarzenia elementarne rozpatrywanego doświadczenia D , lecz ich zbiory, czyli podzbiory przestrzeni .
Na zdarzeniach wykonuje się podobne działania jak na zbiorach: Koniunkcją (iloczynem) dwóch zdarzeń A, B przynależnych do klasy Z nazywamy zdarzenie , składające się z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, które należą zarówno do zdarzenia A, jak i zdarzenia B . Alternatywą (sumą) zdarzeń A, B Z nazywamy zdarzenie , składające się ze zdarzeń elementarnych , które należą co najmniej do jednego ze zdarzeń A lub B . Różnicą zdarzeń A, B Z nazywamy zdarzenie , składające się z tych zdarzeń elementarnych , które należą do zdarzenia A , lecz nie należą do zdarzenia B . W szczególności różnica jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A , czyli . Zdarzenie A pociąga zdarzenie B (A    B) , jeśli każde zdarzenie elementarne należące do zdarzenia A należy również do zdarzenia B . Zdarzenia A, B  Z wykluczają się (wyłączają się) , jeśli nie mają wspólnych zdarzeń elementarnych, tzn. gdy ich koniunkcja jest zdarzeniem niemożliwym, czyli . Zdarzenia wykluczają się parami , jeśli każde dwa spośród nich wykluczają się, czyli , gdy .
Działania na zdarzeniach podlegają odpowiednim prawom analogicznym do praw rachunku zbiorów.
2.1.2. Prawdopodobieństwo zdarzeń losowych i jego własności Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P przyporządkowującą każdemu zdarzeniu liczbę zgodnie z następującymi zasadami:
dla każdego zdarzenia ,
,
jeżeli jest dowolnym ciągiem parami rozłącznych zdarzeń ze zbioru Z , to Powyższa aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa nie określa ilościowo prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń - formułuje tylko warunki, jakie te prawdopodobieństwa muszą spełniać.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, określająca ilościowo prawdopodobieństwo jest następująca:
Jeżeli przestrzeń składa się z n zdarzeń elementarnych, czyli , a zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, czyli
to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A składającego się z k zdarzeń elementarnych , wyraża się równością

(…)

… i wzajemnie wykluczających się, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B wyraża się równością
(2.1.8)
Wzór (2.1.8) wyraża twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym (całkowitym).
Dla zdarzeń spełniających zależność (2.1.8) zachodzi twierdzenie Bayesa, które dotyczy prawdopodobieństwa warunkowego zdarzeń przy warunku B, czyli
(2.1.9)
W terminologii przyczynowo-skutkowej twierdzenie Bayesa można sformułować…
… tych zdarzeń zmniejszonej o prawdopodobieństwo ich koniunkcji, czyli
(2.1.2)
Suma prawdopodobieństw zdarzeń przeciwnych równa się jedności, czyli .
2.1.3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń
Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B nazywamy liczbę określoną następującą równością
(2.1.3)
Z wzoru (2.1.3) wynika wzór na prawdopodobieństwo koniunkcji dwu zdarzeń…
... zobacz całą notatkę