To tylko jedna z 19 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
WYKŁAD 10
ZBIEŻNOŚĆ INTERPOLACJI WIELOMIANOWEJ
WIELOMIANOWE FUNKCJE SKLEJANE HERMITE’A
ZBIE NOŚĆ INTERPOLACJI WIELOMIANOWEJ
W poprzednich rozdziałach stwierdziliśmy, e istnieje dokładnie jeden wielo-mian interpolacyjny, który
mo e być reprezentowany w ró nych bazach. Okazuje się jednak, e praktyczne mo liwości
wykorzystania interpolacji wielomianowej są ograniczone, gdy przy du ej liczbie węzłów daje ona nie
najlepsze wyniki. Pogarszanie się wyników interpolacji przy zwiększaniu liczby węzłów poka emy
na przykładzie funkcji
y=
1
1 + 25 x 2
(1)
w przedziale x ∈ [ − 1, 1]. Na rysunkach 1 ÷ 3 przedstawiono wielomiany interpolacyjne Lagrange’a,
otrzymane dla n = 4, 7 i 10 przy zało eniu, e węzły są równoodległe.
Rys. 1
Rys. 2
Rys. 3
Widać, e początkowo ze wzrostem liczby węzłów n przybli enie polepsza się, lecz przy dalszym
wzroście n przybli enie zaczyna się pogarszać. Takie zachowanie się wielomianów interpolacyjnych,
zwłaszcza przy końcach przedziału interpolacji jest zjawiskiem typowym dla interpolacji za pomocą
wielomianów wysokich stopni przy stałych odległościach węzłów - jest to tzw. zjawisko Rungego.
Potwierdzenie faktu, e wielomian interpolacyjny nie musi być zbie ny do interpolowanej funkcji
znajdziemy w przykładach przedstawionych przez Rungego i Bernsteina oraz w ogólnym twierdzeniu
Fabera.
Przykład Rungego [3]:
Niech Ln ( x ) będzie wielomianem interpolacyjnym funkcji f ( x) = 1 (1 + x ) opartym na węzłach
równoodległych z przedziału [ − 5, 5 ] : xi = −5 + i h, i = 0, 1, ..., n , h = 10 n . Funkcja f nale y do [ − 5, 5 ], a mimo
to ciąg { Ln ( x)} jest zbie ny do f ( x ) tylko dla x 3.63 ... .
2
Przykład Bernsteina [9]:
Niech P będzie wielomianem interpolacyjnym, który przybli a funkcję x w przedziale [ − 1, 1]
w n równoodległych punktach. Wówczas ciąg wielomianów Pn ( x) nie jest zbie ny do funkcji x
w adnym punkcie przedziału [ − 1, 1] oprócz punktów: −1, 0, 1, w których jest zbie ny do odpowiednich
wartości funkcji x .
n
Twierdzenie Fabera [3]:
Dla dowolnego układu węzłów interpolacyjnych istnieje funkcja ciągła, do której ciąg jej wielomianów
interpolacyjnych nie jest jednostajnie zbie ny.
Nale y przy tym pamiętać, e zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa dla ka dej funkcji ciągłej
w przedziale [ a, b ] i dla ka dego ε 0 istnieją: taka liczba n i taki wielomian Pn ( x) stopnia n, e
f ( x)
f ( x ) − Pn ( x )
(…)
… punkcie np. (x , f ( x )) i odpowiednim
przemieszczaniu podpór, których liczba jest ustalana w trakcie „dopasowywania” giętki - rys. 4.
0
0
1
i
Rys. 4
n
0
Równanie linii ugięcia giętki opisuje wzór Bernoulliego-Eulera:
1 Mg
=
ρ EI
(3)
gdzie ρ jest promieniem krzywizny, M - momentem gnącym, E - modułem Younga, I - geometrycznym
momentem bezwładności.
Wzór (3) dotyczy wybranego przekroju giętki…
… sklejanych, tzn. takich funkcji
sklejanych, których parametry są rozwiązaniami układów równań, składających się z podukładów
równań o niewielkich rozmiarach.
Pewne niedostatki zastosowania wielomianowych funkcji sklejanych związane są z mo liwością
pojawiania się niekontrolowanych punktów przegięcia (fałszywych oscylacji funkcji sklejanej)
oraz z niemo nością przybli ania funkcji mających w niektórych…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)