Interpolacja
4.1 Sformułować zadanie interpolacyjne Lagrange'a.
Zadanie interpolacyjne Lagrange'a polega na znalezieniu wielomianu Ln, stopnia nie wyższego niż n spełniającego warunki interpolacji Ln(xi)=f(xi) dla i=0,l,..,n. Wielomian Ln nazywamy wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a funkcji f opartym na węzłach x0,x1,...,xn.
4.2 Sformułować i udowodnić twierdzenie o jednoznaczności rozwiązania zadania interpolacyjnego Lagrange'a.
Zadanie interpolacyjne Lagrange'a polega na znalezieniu wielomianu Ln, stopnia nie wyższego niż n spełniającego warunki interpolacji Ln(xi)=f(xi) dla i=0,l,..,n.
Zadanie interpolacyjne Lagrange' a ma jednoznaczne rozwiązanie.
Dowód: Szukany wielomian zapiszemy w postaci:
** Zadanie interpolacji Ln(xj)=yi dla i=0,l,..,n prowadzi do układu n+1 równań liniowych Va=y z
Macierz Vandermonde'ajest macierzą nieosobliwą dla układu różnych węzłów. Zatem układ Va=y ma dokładnie jedno rozwiązanie. Istnieje wielomian postaci ** i jest on wyznaczony jednoznacznie.
4.4 Zdefiniować iloraz różnicowy 1-go rzędu, 2-go rzędu i ogólnie k-go rzędu.
Wyznaczyć tablicę ilorazów różnicowych dla funkcji f określonej następująco: np. f(0)=1, f(1)=3, f(3)=2.
Ilorazami różnicowymi I rzędu nazywamy wyrażenia.
f0,1=(y1-yo)/x1-xo,.. .fn-l,n=(yn-yn-l)/xn-xn-l Ilorazami różnicowymi II rzędu nazywamy wyrażenia.
f0,1,2=(fl,2-f0,l)/x2-x0,...fn-2,n-l,n=(fn-l,n-fn-2,n-l)/xn-xn-2 Ilorazami różnicowymi k-tego rzędu nazywamy wyrażenia
fi,j+1,..,i+k=(fi+1,..,i+k-fi,..,i+k-1)/xi+k-xi 4.6 Podać definicję funkcji sklejanej stopnia trzeciego.
Funkcją sklejaną stopnia 3 na przedziale nazywamy funkcję, która:
a)jest wielomianem stopnia 3 na każdym przedziale ,
b)jest klasy C2 na
4.7 Sformułować zadanie interpolacji przy pomocy funkcji sklejanych stopnia trzeciego. Czym są dodatkowe warunki ?
Funkcję f(x) określoną na przedziale [a,b] nazywamy funkcją sklejaną stopnia trzeciego, jeżeli
• f(x) jest wielomianem stopnia co najwyżej trzeciego na każdym podprzedziale (xi,xi+1),i=0,l,..n-l
• f(x) jest funkcją klasy C2[a,b]. Punkty xi są węzłami funkcji sklejanej.
Interpolacyjna funkcja sklejana stopnia trzeciego zależy od dwóch parametrów, wobec czego nakładane są najczęściej na węzłach krańcowych a i b dwa dodatkowe warunki. Mogą mieć one postać: f'(a+0)=a i f'(b-0)=b , a,b-ustalone liczby rzeczywiste. Jeżeli funkcja f ma pochodne w punktach a i b oraz znane są ich wartości, to można je przyjąć jako liczby występujących po prawych stronach powyższych warunków. Jeżeli zaś znane są tylko wartości funkcji f w węzłach to mogą to być przybliżenia pochodnych.
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)