To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Całkowanie numeryczne.
6.1 Co to jest kwadratura ? Omówić rolę funkcji wagowej p.
Do przybliżonego obliczenia całki I(f) stosujemy wzory, zwane kwadraturami, w postaci:
przy czym współczynniki Ak nie zależą od funkcji f. Oczywiście xi¹xj dla i¹j. Współczynniki Ak i punkty xk nazywamy odpowiednio współczynnikami i węzłami kwadratury S. Jeżeli funkcja f ma osobliwości utrudniające dobre przybliżenie to f(x)=F(x)*p(x) gdzie F(x) jest funkcją która może dobrze przybliżyć a p(x) ma wszelkie osobliwości funkcji podcałkowej utrudniające przybliżenie
6.2 Podać definicję rzędu kwadratury. Mówimy, że kwadratura S jest rzędu r(r³ l), jeżeli: I(W)=S(W) dla wszystkich wielomianów W stopnia mniejszego niż r, istnieje wielomian W stopnia r taki, że I(W)¹S(W). Jedynym ze sposobów otrzymywania kwadratur S jest zastąpienie w całce I funkcji f funkcją interpolującą F. Wtedy:
gdzie funkcja interpolująca F jest np. interpolacyjnym wielomianem czy interpolacyjną funkcją sklejaną dla funkcji f. Jeżeli F jest wielomianem interpolacyjnym, to S nazywamy kwadraturą interpolacyjną.
6.3 Omówić prosty i złożony wzór trapezów.
Niech F=Ln będzie wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a
Wtedy
Jeżeli funkcję f zastąpimy wielomianem interpolacyjnym L opartym na węzłach a i b, to otrzymamy kwadraturę trapezów
Geometrycznie dla f³0, przybliżamy pole między wykresem f i osią Ox polem trapezu o podstawach f(a) i f(b). Złożony wzór trapezów przy podziale przedziału [a,b] na n podprzedziałów o tej samej długości h=(b-a)/n jest postaci
6.4 Omówić prosty i złożony wzór parabol.
Prosty: S(f)=(b-a)/6*(f(a)+f(b)+4f(a+b)/2) aby osiągnąć lepszą dokładność można zwiększać liczbę węzłów n lub dzielić przedział na mniejsze części Złożony: dzielimy przedział całkowania na m równych części o długości (b-a)/n=h , „n" musi być parzyste S(f)=h/2*[f(a)+f(b)+2Sn-1i=1f(a+ih)+4Sn-1i=1f(a+ih+h/2)]
6.5 Omówić błąd złożonego wzoru trapezów i złożonego wzoru parabol.
Błąd trapezów: E(f)=-[(b-a)3/12m2]*f(2) (x1) Błąd parabol: E(f)=-[(b-a)5/2880m4]*f(4) (x2)
x1,x2 - pewne punkty z przedziału (a,b); pochodna f(2)(x) oraz f(4)(x) jest ciągła na
6.6 Omówić 2 - punktowa prosta i złożona kwadraturę Gaussa-Legendre'a.
Dla przedziału całkowania: S(f)=f(xo)+f(x1) gdzie x0=-1/sqrt(3); x1=1/sqrt(3); dla dowolnego przedziału całkowania ® liniowa zmiana zmiennej całkowania
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)