zadania z roku 2007
1. Cecha, mantysa, Z-znak Liczba = (-1)^z*(2^C-127)* (1,M) Ilość bajtów przeznaczonych na ceche decyduje o zakresie Ilość bajtów przeznaczonych na mantyse decyduje o błedzie 2. 3 Algorytm – w matematyce oraz informatyce to skończony, uporządkowany zbiór jasno zdefiniowanych czynności, koniecznych do wykonania pewnego zadania. Zadanie – Dla danych (d1…dn) znaleźć wynik w = Fi(d) (w1…wn) funkcja Fi – odwzorowanie ciągłe Realizacja algorytmu zmiennoprzecinkowa Zastapienie d,x… arytmetyki Rd(d), rd(x) przez arytmetyki float W odróznieniu od arytmetyki matematycznej – idealnej, na komputerach stosuje sie arytmetyke zmiennoprzecinkowa. Inne spotykane jej nazwy to arytmetyka numeryczna czy arytmetyka fl (od ang. floating-point arithmetic). Kazda liczba rzeczywista x 6= 0 moze byc w jednoznaczny sposób przedstawiona w postaci x = s ¢ m ¢ ¯c; gdzie: ² ¯ jest baza (podstawa) systemu liczbowego, najczesciej równa 2 lub 10, ² s 2 f¡1; 1g jest znakiem liczby x, ² c 2 Z nazywamy cecha lub wykładnikiem, ² m 2 h1 ¯ ; 1´ nazywamy mantysa lub ułamkiem. błedy reprezentacji – niedokładnosci przy reprezentacji liczb (danych), błedy zaokraglen – niedokładnosci zwiazane z wykonywaniem działan arytmetycznych. Zakładamy, ze działania arytmetyczne wykonywane na reprezentacjach liczb rzeczywistych ex i ey sa wykonywane dokładnie, a wynik jest przedstawiany w arytmetyce fl błedy obcięcia przy operacjach. 4 Poprawnosc numeryczna Niech ex bedzie przyblizeniem dokładnej wartosci x. Zdefiniujmy Bład bezwzgledny jako ¢x = jex ¡ xj. Bład wzgledny dla x 6= 0 jako¯¯ ¢x x¯¯. Błedy wzgledne czasami wyraza sie procentowo. Zadania, w których niewielkie wzgledne zaburzenia danych powoduja niewielkie wzgledne zmiany jego rozwiazania nazywamy dobrze uwarunkowanymi. Wielkosci charakteryzujace wpływ zaburzen danych na zaburzenia rozwiazania zadania nazywamy wskaznikami uwarunkowania zadania. Stabilność Nastepna cecha algoryt
1.
Cecha, mantysa, Z-znak
Liczba = (-1)^z*(2^C-127)* (1,M)
Ilość bajtów przeznaczonych na ceche decyduje o zakresie
Ilość bajtów przeznaczonych na mantyse decyduje o błedzie
2.
3 Algorytm - w matematyce oraz informatyce to skończony, uporządkowany zbiór jasno zdefiniowanych czynności, koniecznych do wykonania pewnego zadania.
Zadanie - Dla danych (d1…dn) znaleźć wynik w = Fi(d) (w1…wn) funkcja Fi - odwzorowanie ciągłe
Realizacja algorytmu zmiennoprzecinkowa
Zastapienie d,x… arytmetyki
Rd(d), rd(x) przez arytmetyki float
W odróznieniu od arytmetyki matematycznej - idealnej, na komputerach stosuje sie arytmetyke
zmiennoprzecinkowa. Inne spotykane jej nazwy to arytmetyka numeryczna czy arytmetyka fl (od
ang. floating-point arithmetic).
Kazda liczba rzeczywista x 6= 0 moze byc w jednoznaczny sposób przedstawiona w postaci
x = s ˘ m ˘ Żc;
gdzie:
˛ Ż jest baza (podstawa) systemu liczbowego, najczesciej równa 2 lub 10,
˛ s 2 fˇ1; 1g jest znakiem liczby x,
˛ c 2 Z nazywamy cecha lub wykładnikiem,
² m 2 h1
¯ ; 1´ nazywamy mantysa lub ułamkiem.
błedy reprezentacji - niedokładnosci przy reprezentacji liczb (danych),
błedy zaokraglen - niedokładnosci zwiazane z wykonywaniem działan arytmetycznych. Zakładamy,
ze działania arytmetyczne wykonywane na reprezentacjach liczb rzeczywistych ex i
ey sa wykonywane dokładnie, a wynik jest przedstawiany w arytmetyce fl
błedy obcięcia przy operacjach.
4 Poprawnosc numeryczna
Niech ex bedzie przyblizeniem dokładnej wartosci x. Zdefiniujmy
Bład bezwzgledny jako ¢x = jex ¡ xj.
Bład wzgledny dla x 6= 0 jako
(…)
… przypadku na zmianę będziemy otrzymywali pierwiastki równe 0,5 lub 1. Gdy metoda siecznych nie prowadzi do wyniku, warto zastosować metodę alternatywną.
18.
Metoda Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych [edytuj]
Rozwiązując układ m równań liniowych z n niewiadomymi należy, za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach, sprowadzić macierz rozszerzoną układu równań liniowych do postaci schodkowej. Następnie należy rozstrzygnąć istnienie rozwiązań układu z pomocą twierdzenia Kroneckera-Capellego. Jeżeli układ nie jest sprzeczny, to rozwiązanie układu wyjściowego jest tożsame z rozwiązaniem układu reprezentowanego przez powstałą schodkową macierz rozszerzoną.
Przykład zastosowania metody Gaussa do rozwiązywania układu równań liniowych [edytuj]
Układ wyjściowy:
Macierz rozszerzona…
… z węzłami równoodległymi
Nakładając warunek równoodległości węzłów, otrzymujemy:
, , Określmy następnie funkcję bazową:
Której wykres przedstawia się następująco:
Jako że funkcje , określone na przedziale <a, b> stanowią bazę, więc dowolną funkcję sklejaną możemy przedstawić jako kombinację liniową:
, , .
Aby wyznaczyć współczynniki , należy rozwiązać układ n+1 równań:
, wraz z jedną z trzech dodatkowych…
… średniokwadratowa wielomianami W zadaniach aproksymacji średniokwadratowej wielomianami funkcji aproksymującej F(x) wygodnie jest poszukiwać w postaci wielomianu uogólnionego (5.65)
będącego kombinacją liniową liniowo-niezależnych funkcji. Rozważając aproksymację średniokwadratową funkcji y=f(x) określonej na dyskretnym zbiorze argumentów współczynniki ai j=0,1...m funkcji (5.65) przyjmujemy tak , żeby funkcja…
… dla liniowo - niezależnego układu funkcji: Macierz współczynników (5.67) jest macierzą symetryczną i dodatnio określoną. Dla układu funkcji bazowych tworzących ciąg wielomianów układ równań (5.67) przyjmie postać: (5.69)
gdzie: (5.70)
Wielomian aproksymujący daną funkcję f(x) w sensie najmniejszych kwadratów (5.71)
powinien mieć stopień na tyle wysoki, aby dostatecznie przybliżał funkcję f(x), a jednocześnie…
… funkcji.
Metoda siecznych
Z Wikipedii
Skocz do: nawigacji, szukaj
Metoda siecznych — metoda rozwiązywania równań nieliniowych z jedną niewiadomą.
Metoda siecznych (interpolacji liniowej) polega na przyjęciu, że funkcja na dostatecznie małym odcinku <a,b> w przybliżeniu zmienia się w sposób liniowy. Możemy wtedy na odcinku <a,b> krzywą y=f(x) zastąpić sieczną. Za przybliżoną wartość pierwiastka…
… obliczania warto´sci
funkcji f(x) _= 0 w punkcie x. W tym celu zaburzymy dane x,
x˜ = x(1 + δ) = x + xδ. Oszacujmy wzgle˛dna˛ zmiane˛ wyniku.
|f(˜x) − f(x)|
|f(x)|
= |f(x + xδ) − f(x)|
|f(x)| ≈ |f_(x)xδ|
|f(x)|
= cond(x)|δ|,
cond(x) = |f_(x)x|/|f(x)| jest wska´znikiem uwarunkowania
zadania. Je´sli cond(x) jest mały (|f_(x)| jest mała), to zadanie jest
dobrze uwarunkowane.
Interpolacja Hermie'a
Interpolacja…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)