Metody obliczeniowe i symulacja, dr inż. Marian Bubak - pytania na egzamin i odpowiedzi

Nasza ocena:

5
Pobrań: 280
Wyświetleń: 5733
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Metody obliczeniowe i symulacja, dr inż. Marian Bubak - pytania na egzamin i odpowiedzi - strona 1 Metody obliczeniowe i symulacja, dr inż. Marian Bubak - pytania na egzamin i odpowiedzi - strona 2 Metody obliczeniowe i symulacja, dr inż. Marian Bubak - pytania na egzamin i odpowiedzi - strona 3

Fragment notatki:

Niektóre odpowiedzi mogą być nieprawidłowe, więc warto na wszelki wypadek sprawdzić.

Pierwszy plik porusza kwestie takie jak: arytmetyka w maszynie komputerowej, komputerowa reprezentacja liczb rzeczywistych, własności numeryczne operacji zmiennopozycyjnych, zadanie, algorytm, realizacja zmiennoprzecinkowa algorytmu, uwarunkowanie zadania,
poprawność numeryczna algorytmu, stabilność numeryczna algorytmu, interpolacja Lagrange`a, interpolacja Hermeita, efekt Rungego, interpolacja wielomianowa, funkcje sklejane, warunki brzegowe stosowane przy wyznaczaniu sześciennych funkcji sklejanych, aproksymacja średniokwadratową, aproksymacja jednostajna.

Drugi plik porusza kwestie takie jak: kwadratury Newtona-Cotesa, kwadratury Gaussa, algorytm całkowania adaptacyjnego, iteracyjne rozwiązywanie równań nieliniowych, metoda Newtona-Raphsona rozwiązywania równań nieliniowych, interpolacyjne metody rozwiązywania równań liniowych, algorytm rozwiązywania równań liniowych eliminacja Gaussa, algorytmy faktoryzacji LU Doolittle'a, Crout'a i Choleskiego, metody blokowe.

Trzeci plik porusza zagadnienia takie jak: metoda iteracyjna Jacobiego, S-R, SOR, Czebyszewa, BLAS, LAPACK, PBLAS, BLACS, ScaLAPACK, Blas level 1, 2, 3, całkowanie Monte-Carlo.

Czwarty plik porusza zagadnienia takie jak: błąd względny reprezentacji zmiennoprzecinkowej, kwadratowe funkcje sklejane, kwadratury elementarne trapezów, prostokątów, Simpsona, wzór na kwadraturę złożoną Simpsona, rząd zbieżności.

12. Porównaj kwadratury Newtona-Cotesa i Gaussa.
Cecha
Newtona-Cotesa
Gaussa
Rząd kwadratury
2[n/2]+2
Maksymalny rząd 2n-1
Punkty xi
Równo oddalone od siebie
Punkt w różnych odległościach
Współczynniki Ax
Dla N>= 10 zawsze występuje ai<0 Wszystkie współczynniki ai>0
Zwiększanie stopnia 
Przez dodanie co najmniej dwóch 
Dodanie co najmniej jednego 
dokładności
nowych węzłów
węzła
Zbieżność
W klasie funkcji ciągłych nie jest 
Jest zbieżna dla każdej funkcji 
zbieżna
ciągłej na <a;b>
Wielomiany ortogonalne Nie
Wykorzystane
Kwadratury otwarte
Gorsze od zamkniętych,
Nie używane. Osobliwości 
używane 0 przy
niweluje się poprzez 
osobliwościach w granicach
wprowadzenie wagi p(x), która 
przedziału i przy
zawiera wszystkie osobliwości 
rozwiązywaniu równań
funkcji
różniczkowych  zwyczajnych
Wzrost n 
Trudniejsze oszacowanie błędu, 
Identyczne powody.
Wzrost rzędu pochodnych,Pochodne bardzo szybko rosną nieograniczenie. Mniejsza odporność obliczeń na maszynach cyfrowych. Trudne do oszacowania liczby Cotesa
13. Opisz algorytm całkowania adaptacyjnego.
Całkowanie adaptacyjne jest metodą, która umożliwia automatyczny dobór kroków przy 
całkowaniu z złożoną dokładnością.
Opis:
1. Zakładamy z jaką dokładnością chcemy wyliczyć całkę (ε).
ab
ab
2. Sprawdzenie czy nierówność  ∣S a ,b−Sa ,
−S b∣15∗ε
2
2,
S(x1,x2) Wartość całki liczonej metodą Simsona w przedziale [x1,x2]
ab
ab
Jeżeli nierówność jest spełniona to  S a ,
S b przybliża szukaną całkę z 
2
2,
dokładnością ε.
3. Jeżeli nierówności nie jest spełniona  to stosujemy w/w metodę dla: [a,(a+b)/2] i [(a+b)/2,b] 
w każdym z nich ε’=ε/2.
4. Jeśli w jakimś przedziale oszacowanie błędu jest spełnione to kończymy jego połowienie i 
zapamiętujemy wartość całki.
5. Na samym końcu sumujemy wszystkie całki policzone w każdym z wyznaczonych 
przedziałów.
14. Przedstaw algorytm całkowania funkcji dwóch zmiennych w różnych typach przedziałów.
Ze względu na dość dużą złożoność metod obliczania całek n-D należy zawsze odpowiedni

(…)

… użyteczne do rozwiązywania układów
równań liniowych.
1. Stanowią kompromis między prostotą metod iteracyjnych a efektywnością metod
dokładnych.
2. np. w iteracyjnych metodach Jacobiego i S-R korzystamy z łatwości odwracania macierzy
diagonalnej D. Można jednak za macierz D przyjąć inną macierz np. Trójdiagonalną (nadal
łatwe obliczenia D-1). Dzięki temu przy poprawnym doborze macierzy można uzyskać
szybszą zbieżność.
3. W szczególnych przypadkach macierzy rzadkich możemy zastosować metodę dokładna,
dzieląc macierz A na bloki:
Bi-macierz trójdiagonalna, Ci i Ai-macierze diagonalne
Można wtedy do rozwiązania układu zastosować będącą prostym
uogólnieniem metody stosowanej dla macierzy trójdiagonalnej.
U1=B1 Y1=K1
dla i = 2,3,...,n L=AU-1i-1, Ui = Bi-LCi-1, Yi=Ki-LYi-1.
a następnie
Xn=U-1nYn,
Xi=U-1 i(Yi-CiYi+1…
… Subprograms; wysokiej jakości procedury numeryczne służące
do przeprowadzania operacji na macierzach i wektorach; Trzy poziomy BLAS’ów:
Poziom 1: operacje wektor -> wektor
Poziom 2: operacje macierz -> wektor
Poziom 3: operacje macierz -> macierz
Ponieważ BLAS-y są wydajne, przenośne i szeroko dostępne, są
najczęściej używane przy tworzeniu wysokiej jakości programów algebry
liniowej (np. LINPACK i LAPACK).
LAPACK - Linear Algebra Package; programy algebry liniowej przeznaczone
na maszyny wieloprocesorowe wysokiej wydajności. Są to wysokiej klasy
algorytmy zbudowane przy użyciu BLASów poziomów 1, 2 i 3. Podstawowe
problemy (algorytmy blokowe) jakie mogą rozwiązywać są następujące:
układy równań linowych Ax=b, faktoryzacja LU, LQ, QR, wartości i wektory
własne.
PBLAS - Parallel Basic Linear Algebra…
… do duŜych błędów i w ogóle nie zajmuje się jakością przybliŜenia w innych
punktach. Z tego powodu jest rzadziej uŜywana w praktyce. Istnieje sporo metod
aproksymacji jednostajnej, są to między innymi: Metoda szeregów potęgowych, PrzybliŜenie
Padiego oraz Szeregi Czebyszewa.
Apr. Średniokwadr.: wygładzania danych eksperymentalnych i wyników obliczeń ze
względu na mniej skomplikowane algorytmy jej realizacji numerycznej w porównaniu z
algorytmami aproksymacji jednostajnej i moŜliwość uzyskiwania dobrych przybliŜeń funkcji
f(x).
Zadanie 1.11. Opisz znane ci metody aproksymacji jednostajnej

metoda szeregów potęgowych – szereg Taylora – rozwinięcie f(x) w szereg Taylora na
[a,b]. JeŜeli istnieje to aproksymacja przez obcięcie szeregu:
Wn(x)=f(x0)+sumi=1n[(f(i)(x0)/i!)(x-x0)i].
Błąd z reszty Lagrange’a: f(x)-Wn(x…
…)=[F(n+1)(η)/(n-1)!](x-x0)n+1, gdzie: η∈[a,b]
nie kaŜda funkcja jest rozwijalna w szereg Taylora, metoda mało przydatna z punktu
widzenia maszyn cyfrowych

przybliŜenie Pade – polega na przybliŜaniu funkcji, funkcją wymierną o postaci:
p( x) p0 + p1x + ... + pn xn
r( x) =
=
q( x) q0 + q1x + ... + qk xk
takiej, Ŝe: nieredukowalna (p, q – są względnie pierwsze – nie mają wspólnych podzielników…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz