Różniczkowanie i całkowanie - wykład 12

Nasza ocena:

3
Pobrań: 49
Wyświetleń: 546
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Różniczkowanie i całkowanie - wykład 12 - strona 1 Różniczkowanie i całkowanie - wykład 12 - strona 2 Różniczkowanie i całkowanie - wykład 12 - strona 3

Fragment notatki:

WYKŁAD 12
RÓ NICZKOWANIE I CAŁKOWANIE
RÓ NICZKOWANIE NUMERYCZNE
Ogólne wzory ró niczkowania numerycznego mo na uzyskać po zró niczkowaniu wzorów
interpolacyjnych lub aproksymacyjnych. Nale y jednak przy tym pamiętać, e przybli one
ró niczkowanie jest operacją mniej dokładną ni interpolacja i aproksymacja funkcji, gdy wyznaczenie
funkcji F ( x ) , przybli ającej z zadaną dokładnością funkcję f ( x ) na odcinku [ a , b ] nie zapewnia
jednocześnie bliskości funkcji F ′ ( x ) i f ′ ( x ) - rys. 1.
Rys. 1
W praktyce największe znaczenie mają wzory pozwalające na wyra anie pochodnych funkcji
pomocą znanych wartości tej funkcji w równoodległych punktach
xi = x0 + ih (i = 0, 1, ..., n),
f ( x)
za
(1)
których podstawowym zastosowaniem jest rozwiązywanie zagadnień opisywanych równaniami
ró niczkowymi. Otrzymane w ten sposób ilorazy ró nicowe mogą zawierać ró nice skończone
progresywne i wsteczne lub te centralne ró nice skończone:
δ yi =
1
1
(∆ yi +∇ yi ) = ( yi +1 − yi −1 ) ,
2
2
δ yi = ( y
i+
−y
1
2
i−
1
2
),
....................................................
n
δ ( y i ) = δ (δ
n −1
n
yi ), δ ( yi ) = δ ( δ
n −1
yi ) .











(2)
Wzory ró nicowe aproksymujące pochodne określonego rzędu w węźle xi - zawierające krok siatki (1)
i wartości funkcji y = f ( x ) w węzłach sąsiednich - mogą być wyprowadzane z rozwinięć w szeregi Taylora
w połączeniu z metodą mno ników nieoznaczonych drogą ró niczkowania wielomianów
interpolacyjnych lub te przy wykorzystaniu zale ności wynikających z interpolacji funkcjami
sklejanymi.
W przypadku najprostszej aproksymacji pierwszej pochodnej, z rozwinięć funkcji
Taylora
2
yi ±1
y = f ( x)
w szeregi
3
h
h
= yi ± h yi′ +
yi′′ ±
yi′′′ + ... ,
2
3!
(3)
otrzymujemy następujące wzory:
yi′ =
yi +1 − yi
+ O (h),
h
(4)
yi′ =
yi − yi −1
+ O ( h) ,
h
(5)
yi′ =
yi +1 − yi −1
2
+ O (h ).
2h
(6)
W pierwszym z tych wzorów występuje progresywna ró nica skończona ∆ yi = = yi +1 − yi , w drugim wsteczna ró nica skończona ∇ yi = yi − yi −1 , a w trzecim ró nica centralna δ yi (2). W pierwszych dwóch
2
wzorach błąd aproksymacji zale y liniowo od h, w ostatnim błąd jest proporcjonalny do h .
Interpretacja geometryczna tych wzorów jest przedstawiona na rysunku 2.
Rys. 2
Uwzględnianie coraz to większej liczby węzłów w otoczeniu punktu xi pozwala na konstruowanie
wzorów aproksymujących yi′ ze wzrastającym rzędem błędu aproksymacji. Po dołączeniu do rozwinięć
(3) rozwinięć w szeregi Taylora dla yi ±2
2
yi ± 2 = yi ± 2 h yi′ +
3
( 2 h)
(2 h)
yi′′ ±
yi′′′ + ...
2
3!
(7)
mo na np. uzyskać wzory następujące:
yi′ =
−3 yi + 4 yi +1 − yi + 2
2
+ O ( h ),
2h
(8)
3 yi − 4 yi −1 + yi − 2
2
+ O ( h ),
2h
(9)
yi′ =
−2 yi −1 − 3 yi + 6 yi +1 − yi + 2
3
+ O ( h ),
6h
(10)
−11 yi + 18 yi +1 − 9 yi + 2 + 2 yi + 3
3
+ O ( h ),
6h
(11)
yi′ =
yi′ =
yi′ =
yi − 2 − 8 yi −1 + 8 yi +1 − yi + 2
4
+ O (h ).
12 h
(12)
Wzory (8) ÷ (12) najłatwiej mo na otrzymać stosując metodę mno ników

(…)


Zagadnienie przybli onego obliczania całki oznaczonej I ( f ) danej funkcji ciągłej f ( x ) w przedziale
[a , b]
b
I ( f ) = ∫ f ( x) d x
a
(24)
często występuje w praktyce obliczeniowej, gdy wyznaczanie funkcji pierwotnej jest bardzo trudne lub
wręcz niemo liwe, gdy funkcja f ( x ) nie jest funkcją elementarną lub gdy funkcja f ( x ) jest określona za
pomocą tablicy.
Zagadnienie przybli onego obliczania całek mo na traktować jako aproksymację funkcjonału I innymi,
prostszymi do obliczenia funkcjonałami. W rachunku numerycznym muszą mieć one postać pozwalającą
na obliczenie ich wartości za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych. Wzory numeryczne
całkowania funkcji jednej zmiennej niezale nej nazywane są kwadraturami, funkcji wielu zmiennych
niezale nych - kubaturami.
Istnieją ró ne rodzaje kwadratur. Najwa niejsze z nich to:
- kwadratury interpolacyjne i aproksymacyjne,
- kwadratury Newtona-Cotesa,
- kwadratury Gaussa.
Mianem kwadratur interpolacyjnych lub aproksymacyjnych określamy kwadratury otrzymane przez
całkowanie wzorów interpolacyjnych lub aproksymacyjnych funkcji podcałkowej f ( x). W szczególności
mogą to być wzory oparte na całkowaniu wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz