Twierdzenia Liouville'a - wykład

TWIERDZENIE LIOUVILLE'A O KWADRATURACH
Załóżmy, że układ hamiltonowski ma n stałych ruchu F1(q,p), F2(q,p),...,Fn(q,p), gdzie F1(q,p)=H(q,p). Załózmy, że stałe są niezależne i w inwolucji. Wówczas:
trajektorie q(t), p(t) układu leżą na rozmaitości niezmienniczej Mf={(q,p)R2n|F1(q,p)=f1,...,Fn(q,p)=fn} o wymiarze n.
Trajektorie g(t), p(t) można wyznaczyć przez kwadratury.
*) Niezależność:
*) Rozmaitość: k-wymiarowa jest to zbiór rozwiązań m niezależnych równań o n niewiadomych ( k=n-m)
*) Inwolucja : {Fi,Fj)=0
Twierdzenie Liouville'a o dywergencji Jeżeli div f(x)=0 to strumień pola zachowuje objętość, tzn. dla zachowuje pole
Układ równań kanonicznych hamiltona ma dywergencję równą 0.
Twierdzenie Poincare'go powrocie
Załóżmy, że układ dynamiczny x'=f(x) ma divf(x)=0,oraz, ż D  IRn jest
ograniczonym zbiorem niezmienniczym tego układu (xD t(x)  D)
Wówczas, dla każdego x  D, dla każdego otoczenia otwartego
U punktu x istnieje x  U i chwila t0, tak że t(x)  U
... zobacz całą notatkę