To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1) Wstęp Interpolacja - oszacowanie wartości (zwł. funkcji mat.)
znajdujących się między dwiema znanymi wartościami.
łac. interpolatio 'przekształcenie' od interpolare 'przekształcać; fałszować za
pomocą wstawek'; od inter- łac. 'między; przy; na; wpośród'; polare - od
polire 'polerować; oczyszczać'
Najogólniej rzecz biorąc, interpolacja polega na przybliżaniu funkcji. Aby jednak dokładnie zrozumieć czym jest, a czym nie jest interpolacja, należy powiedzieć kilka słów więcej. Owszem, ona przybliża funkcję - jednak robi to w szczególny sposób - zachowuje bowiem równość wartości w wybranych punktach (zwanych węzłami) pomiędzy funkcją którą chcemy przybliżyć (interpolowaną), a funkcją przybliżającą (interpolującą) :
, Zazwyczaj zależy nam dodatkowo, aby w punktach które nie są węzłami przybliżenie było również jak najlepsze. Jako funkcje interpolujące najczęściej wykorzystuje się wielomiany algebraiczne, trygonometryczne lub funkcje wymierne.
2) Interpolacja Lagrange'a Jedną z najpopularniejszych i najprostszych metod interpolacyjnych jest metoda Lagrange'a. Jest to metoda, która zawsze pozwala nam na znalezienie jednoznacznie określonej funkcji interpolującej będącej wielomianem. Mając dane n+1 węzłów wraz z ich wartościami, szukamy wielomianu W n (x) stopnia co najwyżej n, który przyjmuje zadane wartości dla zadanych węzłów.
Oznaczając przez
Wzór interpolacyjny Langrange'a możemy zapisać jako: Obie zapisane powyżej postacie wzoru Lagrange'a są równoważne, stosujemy je jednak w różnych przypadkach.
Przykład: Mając dane węzły 0, 1, 3, 8 wraz z wartościami 2, 6, -1, 8 obliczamy wielomian interpolacyjny:
Błąd metody Lagrange'a obliczamy za pomocą wzorów: gdzie .
W interpolacji Lagrange'a funkcjami bazowymi są jednomiany x i , wielomian interpolacyjny jest wielomianem algebraicznym. Zamiast rozwiązywać powyższy układ równań stosuje się tzw. wielomian interpolacyjny Lagrange'a. Pozwala on na wyznaczenie małym nakładem pracy wyznaczyć wartości tego wielomiamu (bez znajomości jego współczynników) w dowolnym punkcie przedziału . W praktyce przedział ten stanowią wartości . Wielomian Lagrange'a ma następującą postać:
Zalety: - Przydatna w obliczeniach ręcznych
Wady: - Nie posiada istotnych wad
3) Program 4) Wnioski Podstawową cechą interpolacji jest poszukiwanie wielomianu W n (x), którym liczba współczynników wielomianu n jest równa liczbie punktów (x
(…)
… wielomianu jest więc o 1 mniejszy niż liczba ounktów czyli n (a liczba punktów n+1).
Gdy n jest duże układ równań również jest duży i jest wiele obliczeń oraz wysoki stopień wielomianu. Jest to wadą postępowania.
2
…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)