Zasadnicze twierdzenia Arytmetyki Gaussa

Nasza ocena:

5
Pobrań: 7
Wyświetleń: 462
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Zasadnicze twierdzenia Arytmetyki Gaussa - strona 1 Zasadnicze twierdzenia Arytmetyki Gaussa - strona 2 Zasadnicze twierdzenia Arytmetyki Gaussa - strona 3

Fragment notatki:


Wyklad 11 11 grudnia 2012 Doko´ nczyli´ smy dow´ od Zasadniczego Twierdzenia Arytmetyki Gaussa. Wniosek 0.1 Ka˙zdy pier´ scie´ n Euklidesa jest pier´ scieniem Gaussa. 1 Cialo ulamk´ ow pier´ scienia calkowitego Definicje ciala mo˙zna kr´ otko przypomnie´ c nastepujaco. Zbi´ or F wyposa˙zony w dwa dzialania: addytywne i multyplikatywne nazywamy cialem je˙zeli z tymi dzialaniami • F jest pier´scieniem calkowitym oraz • ka˙zdy element a ∈ F r´ o˙zny od zera ma element odwrotnny ze wzgledu na dzialanie oznaczone multyplikatywnie (a wiec istnieje a−1 ∈ F takie, ˙ze a · a−1 = 1). Ka˙zdy niepusty podzbi´ or F ciala F , kt´ ory z dzialaniami w F jest cialem, na- zywamy podcialem ciala F . Z pewno´ scia najlepiej znanym nam cialem jest cialo liczb rzeczywistych R, kt´ orego podcialem jest cialo liczb wymiernych Q. Z kolei cialo R jest podcialem ciala liczb zespolonych C1. Co´ s nie przypominam sobie, bym podczas wykladu wspomnial warunku ko- niecznym i wystarczajacym na to, by podzbi´ or ciala byl cialem. To mo˙ze by´ c przydatne, a wiec podaje teraz. ! Twierdzenie 1.1 Niepusty podzbi´ or F ciala F jest podcialem wtedy i tylko wtedy gdy • dla dowolnych a, b ∈ F : a − b ∈ F • dla dowolnych a, b ∈ F takich, ˙ze b = 0 : ab−1 ∈ F Niech P bedzie pier´ scieniem calkowitym, P ∗ = P − {0}. W zbiorze Q = P × P ∗ zdefiniujmy dwa dzialania: (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) (1) 1Tu traktujemy liczby rzeczywiste jako liczby zespolone o cze´sci urojonej r´ownej zero. 1 2 PIER´ SCIENIE ILORAZOWE 2 (a, b) · (c, d) = (ac, bd) (2) oraz relacje R: (a, b)R(c, d) ⇐⇒ ad = bc (3) Twierdzenie 1.2 Dla dowolnego pier´ scienia calkowitego P relacja R zdefinio- wana przez 3 jest relacja r´ ownowa˙zno´ sci zgodna z dzialaniami 1 i 2. ! Dzieki twierdzeniu 1.2 w zbiorze ilorazowym P × P ∗/R mo˙zna wprowadzi´ c dzialania dodawania i mno˙zenia: [(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)] (4) [(a, b)] · [(c, d)] = [(ac, bd)] (5) Twierdzenie 1.3 (O ciele ulamk´ ow) Dla dowolnego pier´ scienia calkowitego P zbi´ or P × P ∗/R z dzialaniami zdefiniowanymi wzorami 4 i 5 jest cialem ! przemiennym. Cialo wystepujace w tezie twierdzenia 1.3 nazywamy cialem ulamk´ ow pier´ scienia P . Z oczywistch powod´ ow bedziemy raczej stosowali zapis a b za- miast [(a, b)] dla element´ ow ciala ulamk´ ow. Elementy ciala ulamk´ ow zapisujemy wiec dokladnie tak samo jak doskonale nam znane ulamki (elemty ciala liczby

(…)


(a + I) + (b + I) = a + b + I
oraz
(a + I)(b + I) = ab + I
Latwo zaobserwowa´, ze I jest w P/I elementem neutralnym ze wzgledu na
c ˙
dodawanie.
!
3
´
HOMOMORFIZMY PIERSCIENI
4
Twierdzenie 2.3 (O ilorazie pier´cienia przez ideal) Je´li I jest idealem
s
s
pier´cienia P , to P/I jest pier´cieniem (przemiennym, je´li P jest przemienny,
s
s
s
z jedynka, je´li P jest z jedynka).
s
Je´li P jest pier´cieniem…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz