Wyklad 10 4 grudnia 2012 1 Pier´ scienie wielomian´ ow c.d. Z ka˙zdym wielomianem w ∈ P [x], w = w0 + w1x + . . . + wnx n mo˙zna skojarzy´c funkcje wielomianowa: w : P x → w(x) = w0 + w1x + . . . + wnx n ∈ P Zbi´ or funkcji wielomianowych o wsp´ olczynnikach w pier´ scieniu P oznaczamy przez P (x). Jest oczywiste, ˙ze tak˙ze P (x) jest pier´ scieniem (przemiennym je´ sli P jest przemienny, calkowitym, je´ sli P jest calkowity). Wniosek 1.1 Niech P bedzie pier´ scieniem z jedynka. Reszta z dzielenia wielo- mianu v ∈ P [x] przez wielomian x − c jest r´ owna v(c). Dow´ od. ... Element c pier´ scienia P nazywamy pierwiastkiem wielomianu v ∈ P [x] je´ sli v(c) = 0. Niech v ∈ P [x], gdzie P jest pewnym pier´ scieniem calkowitym, v = q(x − c) + r, gdzie r jest wielomianem stopnia zero. Z wniosku 1.1 wynika, ˙ze c jest pierwiastkiem wielomianu v wtedy i tylko wtedy, gdy x − c dzieli v. Zapiszmy to spostrze˙zenie Wniosek 1.2 Niech P bedzie pier´ scieniem calkowitym. Wielomian v ∈ P [x] jest podzielny przez wielomian x − c wtedy i tylko wtedy, gdy c jest pierwiastkiem wielomianu v. Wniosek 1.3 Niech P bedzie pier´ scieniem calkowitym. Dowolny wielomian v ∈ P [x] stopnia k ma co najwy˙zej k pierwiastk´ ow. Twierdzenie 1.4 Pier´ scie´ n wielomian´ ow K[x] nad dowolnym cialem K jest pier´ scieniem gl´ ownym. 1 2 PIER´ SCIENIE GL ´ OWNE 2 2 Pier´ scienie gl´ owne M´ owimy, ˙ze ciag ideal´ ow (In) pier´scienia P jest wstepujacy je˙zeli I1 ⊂ I2 ⊂ ... ⊂ Ik ⊂ ... Dla dowolnego ciagu wstepujacego ideal´ ow (In) tak˙ze ich mnogo´sciowa suma +∞ n=1 In jest idealem. Rzeczywi´ scie, je´ sli a, b ∈ I, w´ owczas istnieja i, j ∈ N takie, ˙ze a ∈ Ii, b ∈ Ij. Bez straty og´ olno´ ci mo˙zna zalo˙zy´ c, ˙ze i ≤ j. W´ owczas a, b ∈ Ij i a − b ∈ Ij a stad oczywi´scie wynika, ˙ze a − b ∈ I. Dla dowolnego α ∈ P (i przy zalo˙zeniu, ˙ze jak poprzednio, a ∈ Ii) αa ∈ Ii a wiec αa ∈ I. Twierdzenie 2.1 W pier´ scieniu gl´ ownym P ka˙zdy wstepujacy ciag ideal´ ow I1 ⊂ I2 ⊂ . . . ⊂ Ik ⊂ . . . jest stacjonarny, tzn. istnieje k0 ∈ N takie, ˙ze Ik 0 = Ik0 +1 = . . . Najwiekszym wsp´ olnym dzielnikiem element´ ow a i b pier´ scienia calko- witego P nazywamy element d ∈ P spelniajacy warunek: d|a, d|b oraz dla ka˙zdego c ∈ P : c|a, c|b ⇒ c|d Najwiekszy wsp´ olny dzielnik element´ ow a i b oznaczamy przez NWD(a, b) lub
(…)
… to pier´cienie calkowite
z
c ˙
s
s
z operacja dzielenia z reszta.
Przyklad 3.1 Zbi´r liczba calkowitych Z z funkcja h(n) = |n| jest z pewno´cia
o
s
najlepiej znanym przykladem pier´cienia Euklidesa.
s
Przyklad 3.2 Zbi´r wielomian´w K[x], gdzie Kjest pewnym cialem, z funkcja
o
o
h(v) = ∂(v) jest, jak mo˙ na latwo sprawdzi´, pier´cieniem euklidesowym.
z
c
s
Przyklad 3.3 (Pier´cie´ calkowitych liczb zespolonych) Niech Z < i >=
s n
{a + bi : a, b ∈ Z} za´ h(a + bi) = a2 + b2 . Wyka˙ emy, ze funkcja h tak zdefis
z
˙
niowana rzeczywi´cie spelnia postulaty definicji pier´cienia euklidesowego.
s
s
Niech a + bi ∈ Z[i] i niech c + di ∈ Z[i]∗ . Oczywi´cie a+bi = e + f i, gdzie
s
c+di
e i f sa liczbami wymiernymi (˙ eby to zobaczy´ wystarczy wymno˙ y´ licznik i
z
c
z c
c
mianownik wyra˙ enia a+bi przez c − di…
… postaci. Twierdzenie kt´re o
z
c
o
tym m´wi nazwiemy twierdzeniem o NWD w pier´cieniu gl´wnym.
o
s
o
Twierdzenie 2.2 Ka˙ de dwa elementy a, b pier´cienia gl´wnego P maja najz
s
o
wiekszy wsp´lny dzielnik d ∈ P kt´ry jest ich kombinacja liniowa, tzn. istnieja
o
o
s, t ∈ P takie, ze
˙
d = sa + tb
Dow´d. ...
o
Je˙ eli najwiekszym wsp´lnym dzielnikiem element´w a i b jest jedynka pierz
o
o
´cienia (inaczej…
….
Twierdzenie 4.1 Ka˙ dy pier´cie´ gl´wny jest pier´cieniem Gaussa.
z
s n o
s
Dow´d. Musimy udowodni´ dwa fakty. Po pierwsze, ze ka˙ dy pier´cie´ gl´wny
o
c
˙
z
s n o
jest pier´cieniem z rozkladem a po drugie, ze w pier´cieniu gl´wnym rozklad na
s
˙
s
o
iloczyn element´w nierozkladalnych jest jednoznaczny.
o
Dow´d istnienia rozkladu. Dla dowodu nie wprost, przypu´´my, ze a jest elemeno
sc
˙
tem pier´cienia gl…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)