Algebra wykład - Twierdzenia Sylowa

Nasza ocena:

5
Pobrań: 14
Wyświetleń: 903
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Algebra wykład - Twierdzenia Sylowa  - strona 1 Algebra wykład - Twierdzenia Sylowa  - strona 2 Algebra wykład - Twierdzenia Sylowa  - strona 3

Fragment notatki:

Wyklad 8 20 listopada 2012 1 Twierdzenia Sylowa 1.1 Pierwsze twierdzenie Sylowa Twierdzenie 1.1 Niech G bedzie grupa sko´ nczona a p liczba pierwsza, l ∈ N. Je´ sli pl dzieli rzad grupy G w´ owczas istnieje w G podgrupa rzedu pl. 1.1.1 Wnioski z pierwszego twierdzenia Sylowa Niech p bedzie liczba pierwsza. Grupe (lub podgrupe) nazywamy p-grupa (p- podgrupa je˙zeli jej rzad jest potega liczby p. Je˙zeli pk dzieli rzad grupy G, powiedzmy, ˙ze |G| = pkw, przy czym w nie jest podzielne przez p (inaczej m´ owiac k jest maksymalna potega p, kt´ ora dzieli |G|), w´ owczas ka˙zda podgrupe H rzedu pk nazywamy p-podgrupa Sylowa grupy G. Wniosek 1.2 (I Twierdzenie Sylowa) Je´ sli p jest liczba pierwsza dzielaca rzad sko´ nczonej grupy G, w´ owczas istnieje p-podgrupa Sylowa grupy G. Wniosek 1.3 (Twierdzenie Cauchy’ego) Je´ sli grupa sko´ nczona G jest rze- du podzielnego przez liczbe pierwsza p, w´ owczas w G istnieje element rzedu p. ´ Cwiczenie 1.1 Udowodnij, ˙ze istnieja jedynie dwie grupy rzedu 6, mianowicie Z6 oraz grupa symetryczna S4 (czyli grupa permutacji zbioru {1, 2, 3} 1 Przyklad 1.1 Korzystajac z ´ cwiczenia 1.1 wyka˙zemy, ˙ze 12-to elementowa gru- pa permutacji parzystych A4 nie zawiera podgrupy rzedu 6, cho´c 6 dzieli jej rzad 12. Rzeczywi´ scie, gdyby podgrupa o 6 elementach istniala, to zgodnie z ´ cwiczeniem 1.1 bylaby izomorficzna z Z6 albo z S3. Tymczasem w Z6 istnieje element rzedu 6, podczas gdy ˙zadna permutacja 4 element´ ow nie jest rzedu 6. Nie mo˙ze to by´ c tak˙ze grupa S3, bo w S3 istnieja nieprzemienne elemnty rzedu 2, natomiast w A4 sa 3 elementy rzedu 2: (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4) i (1, 4)(2, 3), kt´ ore sa parami przemienne. 1Jedyno´s´c oznacza tu oczywi´scie jedyno´s´c z dokladno´scia do izomorfizmu. Dokladniej nale ˙zaloby powiedzie´ c, ˙ze ka˙zde grupa rzedu 6 jest izomorficzna z Z6 albo z grupa symetryczna S3. 1 2 PIER´ SCIENIE I CIALA 2 1.2 Drugie twierdzenie Sylowa Twierdzenie 1.4 (Drugie Twierdzenie Sylowa) Je´ sli P jest p-podgrupa Sy- lowa grupy sko´ nczonej G za´ s H jest p-podgrupa grupy G, w´ owczas H ⊂ gP g −1 dla pewnego g ∈ G. Wniosek 1.5 (Sylow) Dowolne dwie p-podgrupy Sylowa grupy sko´ nczonej sa sprze˙zone. Stad latwo wynika nastepny wniosek. Wniosek 1.6 p-podgrupa Sylowa grupy sko´ nczonej jest normalna wtedy i tylko wtedy gdy jest jedyna. 1.3 Trzecie twierdzenie Sylowa Istota drugiego twierdzenia Sylowa jest fakt, ˙ze dowolne p-podgrupy H1 i H2 grupy sko´ nczonej G takie, ˙ze |H1| = |H2| sa sprze˙zone, w trzecim twierdzeniu

(…)

…-podgrupa Sylowa grupy G.
2. np ≡ 1 (mod p)
3. np | w
2
Pier´cienie i ciala
s
Definicja 2.1 Zbi´r P z dwoma dzialaniami + (dodawania) oraz · (mno˙ enia)
o
z
nazywamy pier´cieniem je´li:
s
s
• P z dzialaniem dodawania jest grupa przemienna,
• dzialanie mno˙ enia jest laczne,
z
• dla dowolnych element´w a, b, c ∈ P : a(b + c) = ab + ac oraz (a + b)c =
o
ac + bc (rozdzielno´´ mno˙ enia wzgledem dodawania)
sc…
…´w formalnych Latwo mo˙ na wykaza´, ze zbi´r
o
z
c ˙
o
ten tworzy pier´cie´
s n
2 Inaczej:
dla ka˙ dego a ∈ P, a = 0 istnieje a ∈ P taki, ze aa = 1.
z
˙
4
IDEALY
4
• Pier´cie´ wielomian´w P [x] o wsp´lczynnikach w pier´cieniu P to zbi´r
s n
o
o
s
o
szereg´w formalnych, w kt´rych sko´czona liczba wsp´lczynnik´w jest
o
o
n
o
o
r´´na od zera.
oz
z
Inaczej: oznaczmy przez xi = (0, ..., 0, 1, 0, ...). Zdefiniujmy…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz