Algebra zadania II rok

Kolokwium Algebra II rok WMS Zadanie 1. Niech A = {a + bi + cj + dk : a, b, c, d ∈ R}, pomi¦dzy liczbami i, j, k zachodz¡ nast¦puj¡ce zale»no±ci i · j = k, j · k = i, k · i = j, i2 = −1, j2 = −1, k2 = −1 . (A, +) jest grup¡ abelow¡. Czy struktura (A, +, ·) jest pier±cieniem, ciaªem? Zadanie 2. Opisz wszystkie p-podgrupy grupy S3 oraz oblicz ich liczb¦. Zadanie 3. Niech K b¦dzie dowolnym ciaªem. Udowodnij, »e K[X] jest pier±cie- niem ideaªów gªównych. Zadanie 4. Udowodnij, »e je»eli ϕ : A → B jest homomorzmem pier±cieni oraz J jest ideaªem pier±cienia B, to zbiór ϕ−1(J) jest ideaªem pier±cienia A. Zadanie 5. Które z poni»szych twierdze« s¡ prawdziwe. Odpowied¹ krótko uzasadnij. (a) Grupa rz¦du 56 posiada podgrup¦ rz¦du 8. (b) W pier±cieniu Z7[X] wielomian X5 + 4X4 + X3 + X2 + 4X + 5 jest podzielny przez X + 4. (c) Element 25 pier±cienia Z[ 1 10 ] jest nieodwracalny. (d) W pier±cieniu Z[i √ 5] element 9 ma jednoznaczny rozkªad. (e) Ka»dy element pierwszy pier±cienia jest nierozkªadalny. P owodzenia! 1 ... zobacz całą notatkę