Wyklad 9 27 listopada 2012 1 Podzielno´ s´ c w pier´ scieniach Definicja 1.1 Niech P bedzie pier´ scieniem calkowitym, a, b ∈ P . M´ owimy, ˙ze a dzieli b je˙zeli istnieje c ∈ P takie, ˙ze b = ac. Piszemy w´ owczas a|b. Je´ sli a|b i b|a to elementy a i b nazywamy stowarzyszonymi. Oczywi´ scie je´ sli a ∈ Z, a = 0, w´ owczas a i −a sa elementami stowarzy- szonymi w Z, za´ s a, −a, ai, −ai sa elementami stowarzyszonymi w pier´ scieniu Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z}. W Z/(mod6) elementy 1 i 5 sa stowarzyszone. Co wiecej, ka˙zdy element a ∈ Zn taki, ˙ze a ⊥ n jest stowarzyszony z 1. W ciele ka˙zde dwa r´ o˙zne od zera elementy sa stowarzyszone. Definicja 1.2 Elementy stowarzyszone z 1 (jedynka pier´ scienia) nazywamy je- dno´ sciami pier´ scienia. Twierdzenie 1.1 Zbi´ or jedno´ sci pier´ scienia P tworzy grupe (multyplikatywna). (Grupe te nazywamy grupa jedno´ sci pier´ scienia). Przyklady. 1. Zbi´ or {−1, 1} jest zbiorem jedno´ sci w pier´ scieniu liczb calkowitych. 2. W pier´ scieniu Z[ √ 3] = {a + b √ 3 : a, b ∈ Z} (sprawd´ z, ˙ze to pier´ scie´ n!) prawdziwy jest wz´ or (2 − √ 3)(2 + √ 3) = 1 Stad (2 − √ 3) k (2 + √ 3) k = 1 dla dowolnego k naturalnego. A wiec w pier´ scieniu Z[ √ 3] zbi´ or jedno´ sci jest niesko´ nczony. Ka˙zde przedstawienie elementu a pier´ scienia P w postaci a = a1 · . . . · an (1) nazywamy rozkladem na czynniki. O rozkladzie (1) m´ owimy, ˙ze jest wla´ sciwy, je´ sli 1 1 PODZIELNO´ S ´ C W PIER´ SCIENIACH 2 1. n ≥ 2, 2. ˙zaden z czynnik´ ow a1, . . . , an nie jest jedno´scia. Je´ sli ˙zaden wla´ sciwy rozklad elementu a nie istnieje, w´ owczas m´ owimy, ˙ze a jest nierozkladalny. Element a pier´ scienia P nazywamy pierwszym, je˙zeli zachodzi implikacja: a|bc ⇒ a|b lub a|c Pamietamy ze szkoly, ˙ze liczby calkowite nierozkladalne i pierwsze to to samo. Tak jest w istocie. Niemniej przekonamy sie, ˙ze w pewnych pier´ scieniach i to, na dodatek, w pier´ scienich liczbowych, istnieja elementy nierozkladalne, kt´ ore nie sa pierwsze1. Poni˙zsze twierdzenie podaje relacje zawierania pomiedzy zbiorami element´ ow pierwszych i nierozkladalnych dowolnego pier´ scienia calko- witego. Twierdzenie 1.2 W dowolnym pier´ scieniu calkowitym P , ka˙zdy element pier- wszy jest nierozkladalny. Dow´ od. Niech a ∈ P bedzie elementem pierwszym pier´ scieni calkowitego P .
(…)
… za˙
uwa˙ y´, tak˙ e a1 , . . . , ai−1 , ai+1 , . . . , ak sa jedno´ciami, co ko´czy dow´d.
z c
z
s
n
o
1 Odkrycie tego zaskakujacego faktu zawdzieczamy niemieckiemu matematykowi Ernestowi
Kummerowi (1810-1893), jednemu z tw´rc´w algebraicznej teorii liczb (wsp´lnie z Dedekino o
o
dem i Kroneckerem). Kummer jest tak˙ e znany jako ten, kto wykazal Ostatnie Twierdzenie
z
Fermata dla najbardziej obszernej klasy liczb a˙ do kompletnego dowodu tego slynnego twierz
dzenia w 1993 roku przez Andrew Wilesa (1953 -).
1
´´
´
PODZIELNOSC W PIERSCIENIACH
3
Bardzo znanym przykladem na to, ze twierdzenie odwrotne do twierdzenia
˙
√
√
1.2 nie jest prawdziwe, jest pier´cie´ Dedekinda Z < 5i >= {a+bi 5|a, b ∈
s n
Z}.
Wyka˙ emy wpierw, ze liczba 2 jest elementem nierozkladalnym pier´cienia Dez
˙
s
dekinda. rzeczywi´cie…
… takich, ze a = bc, a to oznacza, ze a est elementem pierwszym w
˙
˙
P.
2 Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Nawet pobie˙ ne wymienienie matematycznych
z
osiagnie´ Gaussa wykracza poza ramy niniejszego skryptu. Warto jednak wspomnie´, ze
c
c ˙
uwa˙ a sie go tak˙ e za niemniej wybitnego fizyka, astronoma i geodete. Ciekawostka jest, ze
z
z
˙
podobnie jak najwybitniejszy polski matematyk Stefan Banach…
… wielomian´w
s
o
Dla wielomianu v = v0 +v1 x+. . . ∈ P [x] najwieksze k0 dla kt´rego vk0 = 0 nazyo
wamy stopniem wielomianu v i oznaczmy przez ∂(v). Stopniem wielomianu
2
´
´
PIERSCIENIE WIELOMIANOW
6
zerowego jest −∞3 . Wsp´lczynnik vk0 nazywamy wtedy wsp´lczynnikiem
o
o
dominujacym wielomianu v.
Z latwo´cia mo˙ na sprawdzi´, prawdziwo´´ nastepujacych dw´ch twierdze´.
s
z
c
sc
o
n
Twierdzenie 2.1…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)