To tylko jedna z 26 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
POTENCJALNY OPŁYW WALCA
1. Płaski ruch potencjalny – potencjał zespolony
Potencjałem prędkości ruchu płaskiego jest skalarna funkcja Φ( x, y ) ,
której pochodne cząstkowe są składowymi wektora prędkości:
∂Φ
=ν x ,
∂x
∂Φ
=ν y.
∂y
(1)
Dla przepływu płaskiego linie prądu opisane są równaniem
dx
νx
=
dy
νy
(2)
lub po przekształceniu
−ν y dx +ν x dy = 0.
(3)
Lewa strona tego równania jest różniczką zupełną pewnej funkcji
spełniającej warunki
∂Ψ
∂Ψ
−ν y =
,ν x =
.
∂y
∂x
(4)
Funkcja Φ( x, y ) charakteryzuje linię prądu (jest stała dla każdej linii prądu) i
jest nazywana funkcją prądu .
Z równań (1) i (4) wynika związek pomiędzy funkcjami Φ i Ψ , a mianowicie
∂Φ ∂Ψ
=
,
∂y
∂x
∂Ψ
∂Φ
.
=−
∂y
∂x
(5)
Po pomnożeniu obu równań stronami można zauważy, że spełniony jest
warunek
∂Φ ∂Ψ ∂Φ ∂Ψ
=
= 0,
∂x ∂x
∂y ∂y
(6)
Związki (5) i (6) są zależnościami Cauchy’ego-Riemana implikującymi istnienie
funkcji zespolonej, której częścią rzeczywistą jest jedna zmienna i częścią
urojoną druga
f ( z ) = Φ + iΨ ,
(7)
gdzie z jest zmienną zespoloną i może być przedstawiona w postaci
z = x + iy = r (cos ϕ + i sin ϕ ) = reiϕ .
(8)
Funkcja f ( z ) nazywana jest potencjałem zespolonym. Każda funkcja
zmiennej zespolonej przedstawia pewien ruch płaski potencjalny. Prawdziwe
jest też twierdzenie, że każdemu ruchowi płaskiemu potencjalnemu można
przypisać odpowiednią funkcję zmiennej zespolonej, której część rzeczywista
jest potencjałem prędkości a część urojona funkcją prądu.
2. Przykład płaskich pól potencjalnych
2.1. Ruch równoległy
Opiszemy przepływ określony potencjałem zespolonym f ( z ) = az , w którym a
jest liczbą rzeczywistą.
Przekształcając funkcję f ( z ) otrzymamy:
f ( z ) = a( x + iy ) = ax + iay
∂Φ
∂Φ
Φ = ax, Ψ = ay,ν x =
= a, ν y =
= 0.
∂x
∂y
Linie jednakowego potencjału prędkości Φ = ax = const oraz linie prądu
Ψ = ay = const tworzą siatkę hydrodynamiczną tego przepływu (rys.1.).
Rys. 1
2.2. Źródło płaskie
Zbadamy przepływ opisany potencjałem zespolonym f ( z ) = C ln z , w którym C
jest stałą liczbą rzeczywistą.
iϕ
Po podstawieniu z = re otrzymamy po przekształceniach
( )
f ( z ) = C ln reiϕ = c ln r + Cϕi
∂Φ C
∂Φ
Φ = C ln r , Ψ = Cϕ , ν r =
= , νϕ =
= 0.
∂r
r
r∂ϕ
Liniami jednakowego potencjału prędkości są okręgi współśrodkowe opisane
wzorem Φ = C ln r = const , a liniami prądu pęk prostych wychodzących ze
źródła Ψ = Cϕ = const (rys. 2).
Q
C=
2Π
Rys. 2
2.3. Wir płaski
C
f ( z ) = ln z ,
Zbadamy przepływ opisany potencjałem zespolonym
i
w którym C jest stałą liczbą rzeczywistą.
Po przekształceniach otrzymamy
( )
C
f ( z ) = ln r ϕi = Cϕ − Ci ln r ,
i
Φ = Cϕ , Ψ = -C ln r ,
∂Φ
∂Φ C
νr =
= 0, ν ϕ =
= ,
∂r
r∂ϕ r
Linie jednakowego potencjału prędkości tworzą pęk prostych, a linie prądu
rodzinę okręgów współśrodkowych (rys. 3).
T
C=
2Π
Rys. 3
2.4. Dipol płaski
Zbadamy przepływ opisany potencjałem zespolonym f ( z ) =
Po przekształceniach otrzymamy
C
.
z
C
x − yi
Cx
iCy
=C 2
,
f (z ) =
= 2
− 2
2
2
2
x + iy
x +y
x +y
x
(…)
…)
⎛ R2 ⎞
1 ∂Φ
Γ
νϕ =
.
= −ν ∞ ⎜1 + 2 ⎟ sin ϕ −
⎜
⎟
r ∂ϕ
r ⎠
2πR
⎝
(24)
Składowe wektora prędkości
Na powierzchni walca r=R
Γ
ν r = 0, ν ϕ = −2ν ∞ sin ϕ −
.
2πR
Rys. 8
(25)
Siła wypadkowa płynu
Siłę wypadkową P rozłożymy na składową działającą wzdłuż wektora
prędkościν ∞ (siła oporu czołowego Px ) i składową prostopadłą do kierunku
wektora ν ∞ (siła nośna Py ) .
Siła oporu czołowego jest zdefiniowana w postaci
Px = cx
2
ρν ∞
2
A,
gdzie :
c x - bezwymiarowy współczynnik oporu profilowego (czołowego)
A - pole powierzchni rzutu ciała na płaszczyznę prostopadłą do wektoraν ∞ .
Rys. 9
Elementarna siła nośna dP , pochodząca od ciśnienia wynosi
dP =
(p
− p ∞ )z dl ,
(27)
gdzie z jest długością walca.
Składowa pionowa siły dP wynosi
dP y = dP cos ϕ = ( p − p ∞ )zdl cos ϕ .
(28)
Siła nośna działająca na całą…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)