PODSTAWY KINEMATYKI PŁYNÓW
Kinematyka zajmuje się teoretycznym opisem ruchu płynów, bez
uwzględnienia przyczyn (sił, momentów) powodujących ruch.
Kinematyka zajmuje się więc badaniem własności
geometrycznych ruchu płynu: wyznaczeniem pól prędkości,
przyspieszeń, linii prądu itp.
1. Pojęcie ruchu płynu
Przez ruch płynu rozumiemy przemieszczanie się (ruchem postępowym lub
obrotowym) i odkształcenie się (objętościowe i postaciowe) płynu. Zgodnie z
tzw. Cauchy’ego-Helmholza
υ = υ p + ω xr + υd
Rys. 1.
2. Metody opisu ruchu płynu
2.1. Metoda Lagrange’a – metoda badań wędrownych
Rys.1. Współrzędne Lagrange’a
W tej metodzie badana jest historia wybranego elementu płynu. Jeżeli w chwili t0
element płynu znajdował się w położeniu określonym wektorem r ( x0 , y0 , z0, )
to po czasie t r = r (r0 , t ) Ogólnie wyznaczamy f = f ( r0 , t ), gdzie f jest
.
rozpatrywaną własnością płynu, a ( r0 , t ) współrzędnymi Lagrange’a.
W dowolnej chwili t współrzędne wybranego punktu M mają postać:
x = x ( x0 , y0 , z0 , t )
y = y ( x0 , y0 , z0 , t )
(1)
z = z ( x0 , y0 , z0 , t )
wektor prędkości
v=
r ( x0 , y0 , z0 , t )
∂t
,
(2)
a jego składowe
vx =
∂x ( x0 , y0 , z0 , t )
∂t
, vy =
∂y ( x0 , y0 , z0 , t )
∂t
, vz =
∂z ( x0 , y0 , z0 , t )
∂t
.
(3)
Przyspieszenie
2
∂ v ∂ r ( x0 , y0 , z0 , t )
a=
=
,
2
∂t
∂t
(4)
a jego składowe
∂x2 ( x0 , y0 , z0 , t )
∂vx
ax =
=
,
2
∂t
∂t
∂vy
∂y2 ( x0 , y0 , z0 , t )
ay =
=
,
2
∂t
∂t
∂z2 ( x0 , y0 , z0 , t )
∂vz
az =
=
.
2
∂t
∂t
(5)
(6)
2.2. Metoda Eulera – metoda badań lokalnych
Rys. 2. Współrzędne Eulera
Wektor prędkości zdefiniowany jest w postaci v (r, t ) =
dx
vx =
= vx ( x0 , y0 , z0 , t ) ,
dt
dx
vy =
= vy ( x0 , y0 , z0 , t ) ,
dt
dx
= vz ( x0 , y0 , z0 , t ) .
vz =
dt
dr / dt ,
a jego składowe
(7)
Dla r = const . Określona jest prędkość różnych cząstek płynu przepływających
przez punkt o współrzędnych (x,y,z). Dla t = const . Opisane jest pole prędkości
wszystkich cząstek obszaru w chwili t. Pewien problem pojawia się przy
obliczaniu przyśpieszeń cząstek przepływających przez punkt o współrzędnych
(x,y,z).
Formalnie:
a=
dv ( x, y, z, t )
dt
Chcąc wyznaczyć przyspieszenie na drodze ds .
trzeba niestety uwzględnić zarówno zmiany
lokalne ∂ , jak i wędrowne ∂ .
dt
ds
Rys. 3. Zmiany wędrowne
(8)
Składowe wektora a =
ax =
ay =
az =
Wyrażenia
dv ( x, y, z, t )
dvx ( x, y, z, t )
dt
dvy ( x, y, z, t )
dt
dvz ( x, y, z, t )
dt
dt
=
=
=
∂vx ∂vy ∂vz
,
,
∂t ∂t ∂t
wynoszą:
dvx dvx
dvx
dvx
vx +
vy +
vz ,
+
dt
dx
dy
dz
dvy
dt
+
dvy
dx
vx +
dvy
dy
vy +
dvy
dz
vz ,
dvz dvz
dvz
dvz
vx +
vy +
vz.
+
dt
dx
dy
dz
nazywamy pochodnymi lokalnymi
dvz
dvz
dvz
vx +
vy +
vz.
natomiast dx
dy
dz
pochodnymi unoszenia
(konwekcyjnymi).
Suma obu pochodnych nazywana jest pochodną wędrowną
(substancjalną)
(9)
(10)
(11)
2.3. Współrzędne względne – ruch lokalny płynu
Rys. 4. Układ współrzędnych względnych
2.4. Inne współrzędne
• krzywoliniowe, s
• biegunowe,r, φ
• walcowe, z,r, φ
•
(…)
…. Elementarna struga wirowa nazywana jest nitką
wirową.
Wielkość
σ = ∫ W⋅n ⋅ dA
nazywamy natężeniem strumienia wiru (m2/s).
W przypadku, gdy A jest powierzchnią zamkniętą, to σ = 0.
Z tego faktu wynika treść twierdzenia Helmholtza o niezmienniczości natężenia
strugi wirowej.
Natężenie strumienia wiru wzdłuż strugi wirowej jest wielkością
stałą.
W nieograniczonym ośrodku ciągłym strugi wirowe nie mogą się więc
zaczynać ani kończyć w danej objętości płynu. Mogą one tylko przez tę objętość
przechodzić na wskroś lub tworzyć pierścienie wirowe. Natomiast w ośrodku
ograniczonym (np. dnem rzeki, ścianami kanału itp.) strugi wirowe mogą się
zaczynać bądź kończyć tylko na brzegach.
Ruch wirowy ośrodka ciągłego można uważać za przemieszczanie się w
nim strugi i pierścieni wirowych.
7. Strumień objętości płynu…
… przepływającego przez
zadaną powierzchnię
Rys. 10. Strumień
objętości
Q = ∫ νdA = ∫ νndA = ∫ νndA
A
A
(32)
A
Na podstawie twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego
Q = ∫ νndA = ∫ divνdV
A
V
(33)
8. Pęd i kręt (moment pędu) płynu
Rys. 11. Obszar
płynu
Pęd płynu zawartego w obszarze V wynosi
P = ∫ ρνdV,
a kręt
(34)
V
K = ∫ ρν × rdV
V
(35)
9. Cyrkulacja prędkości
Rys. 13. Cyrkulacja prędkości
Γ=
∫ νds = ∫ (iv
x
)(
∫ ( v…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)