Wykład 7

Nasza ocena:

5
Pobrań: 49
Wyświetleń: 1281
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wykład 7 - strona 1 Wykład 7 - strona 2 Wykład 7 - strona 3

Fragment notatki:

2010-04-24
GEOMETRIA MAS
W geometrii mas analizuje się
właściwości niektórych
geometrycznych cech ciała ściśle
związanych z rozkładem masy w
rozwaŜanej przestrzeni,
rozpatrując geometryczny model
ciała sztywnego - szkielet ciała
sztywnego.
1
Środek cięŜkości
2
Środek cięŜkości
cięŜkoś
3
1
2010-04-24
Środek cięŜkości
cięŜkoś
4
Środek cięŜkości
cięŜkoś
5
Środek cięŜkości
cięŜkoś
6
2
2010-04-24
Środek cięŜkości
cięŜkoś
7
Środek cięŜkości
cięŜkoś
8
Środek cięŜkości
cięŜkoś
9
3
2010-04-24
Środek cięŜkości
cięŜkoś
10
Środek cięŜkości
cięŜkoś
11
Przykład 7.1
12
4
2010-04-24
Przykład
13
Środek cięŜkości
cięŜkoś
14
Środek cięŜkości
cięŜkoś
(a)
(b)
z
y
V
C
∆G
1
r1
yi
yC
ri
rC
zC
yC
C
∆G
i
G
x
z
xi
∆S i
∆G
i
xC
y
G
xC
x
∆G i = g ⋅ ∆mi = γ ⋅ ∆ Vi = ρ ⋅ g ⋅ ∆ Vi
n
W = G = ∑ ∆G i
i =1
15
5
2010-04-24
n
PołoŜenie środka cięŜkości
środka cięŜkoś
G = ∑ ∆G i
i =1
n
rC =
n
∑ r ∆G ∑ r ∆G
i
i =1
n
i
∑ ∆G
i =1
=
rC =
=
G
i
i
G
i
∫ rdG
(V)
i =1
1
G
∫ rdG
(V)
16
Środek cięŜkości w układzie Oxyz
rode cięŜkoś
ukł
n
xC =
∑ x ∆G
i =1
i
i
G
n
yC =
∑ y ∆G
i =1
i
i
G
n
zC =
∑ z ∆G
i =1
i
i
G
17
Środek cięŜkości w układzie Oxyz dla ośrodka ciągłego:
rode cięŜkoś
ukł

cią
xC =
1
∫ xdG;
G (V)
yC =
1
∫ ydG;
G (V)
zC =
1
∫ zdG
G (V)
18
6
2010-04-24
Środek masy ciała
rode
ciał
Dla ciał o niewielkich wymiarach przyspieszenie ziemskie
g=const. Wstawiając wówczas Gi=g⋅mi, G=g⋅m


n
∑ r ∆m
rC =
n
xC =
xC =

i
i =1
i
m
n
x i∆m i

;
yC =
1
xdm ;
m (V)
yC =
i=1
m
rC =
lub

1
∫ r dm
m (V )
n
y i∆m i
;
1
ydm ;
m (V)
∑ z ∆m
i
zC =
zC =
i=1
m

i
i=1
m
1
zdm
m (V)

19
Dla niewielkich ciał moŜna przyjąć, Ŝe środek masy pokrywa się ze środkiem cięŜkości.
ciał moŜ przyjąć,
się
cięŜkoś
Środek masy ciała jednorodnego:
∆G i = γ∆ Vi = ρ g ∆ Vi
ρ=const.
γ=const.
n
∑r ∆ V
i
rC =
i
i =1
n
xC =
xC =
i =1
1
V

n
∑y ∆V
i
i
;
yC =
∫ xd V;
yC =
1
V
(V)
∑z ∆V
i
i =1
V
1
rd V
V (V)
n
∑x ∆V
i
rC =
lub
V
V
i
;
∫ yd V;
zC =
i
i =1
V
1
V
zC =
(V)
∫ zd V
(V)
20
Środek cięŜkości jednorodnej figury płaskiej :
rode cięŜkoś

grubość płyty t=const.
n
Vi= t⋅Si
∑r ∆S
rC =
i =1
i
i
S
n
xC =
∑ x ∆S
i =1
i
i
S
n
yC =
rC =
1
r d S;
S (S)

xC =
1
xd S;
S (S)

yC =
∑ y ∆S
i =1
i
S
1
yd S
S (S)

i
21
7
2010-04-24
Środek cięŜkości linii materialnej:
rode cięŜkoś
materialnej:
∆G i = γS∆li
z
gdzie li - elementarna długość
Ai
C
n
zi
Yi
Xi
zC
rC =
y
n
xC =
rC =
1
r d l;
l (∫)
l
i =1
l
xC =
i
l
n
∑ x ∆l
i
i
i =1
xC
yC
x
∑ r ∆l
i
;
1
xdl;
l (∫)
l
yC =
∑ y ∆l
yC =
i
i =1
i
l
1
ydl;
l (∫l
n
; zC =
∑ z ∆l
i
i =1
zC =
i
l
1
zdl
l (∫)
l
22
l - długość całej linii
Momenty statyczne
(V
S xy ) =
∫ zdV = z V
(
S xs) =
C
∫ ydV = x
C
S
(S )
(V )
JeŜeli ciało ma płaszczyznę, oś lub środek symetrii, to na tej
płaszczyźnie, osi lub w tym środku

(…)

… się w punkcie ich przecięcia się.
Osie przechodzące przez środek masy noszą nazwę osi
centralnych.
Momenty statyczne względem płaszczyzn lub osi symetrii są
równe zeru.
(V )
zC =
S xy
V
xC =
(
S xS )
V
23
Pierwsze twierdzenie Pappusa-Guldina:
Pappusa-Guldina:
Pole powierzchni S bryły
utworzonej przez obrót krzywej
płaskiej AB=l dookoła osi
połoŜonej w płaszczyźnie tej
krzywej i nie przecinającej jej,
równa się iloczynowi długości
krzywej l i długości drogi środka
cięŜkości 2π xc tej krzywej:
S = 2 πx C ⋅ l
24
8
2010-04-24
Drugie twierdzenie Pappusa-Guldina:
Pappusa- Guldina:
Objętość bryły V utworzona przez
obrót figury płaskiej dookoła osi
leŜącej w jej płaszczyźnie i nie
przecinającej figury płaskiej
równa się iloczynowi pola figury
płaskiej i długości drogi jej środka
cięŜkości:
V = 2 πx C ⋅ S
25
y
Przykład…
… ⋅ πR 3 + h πR 2 h
h 2 − 3R 2
8
3
4 3
zC =
=
1 2
4h + 8 R
πR (2 R + h)
3
34
Momenty bezwładności i
dewiacji
35
Momentem bezwładności ciała
bezwł adnoś ciał
sztywnego względem dowolnej osi l
wzglę
nazwiemy granicę, do której dąŜy
suma iloczynów mas, na które
podzieliliśmy ciało, przez kwadraty
odległości tych elementów od
wspomnianej osi, gdy liczba
elementów dąŜy do nieskończoności
przy jednoczesnym…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz