To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 3. Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju eliptycznym.
Hipoteza kinematyczna zakłada, jak poprzednio, sztywny obrót rzutu przekroju i jego
deplanację w płaszczyźnie prostopadłej do rzutu:
u1 = −Θ ′x 2 x3
u 3 = Θ ′ψ (x1 , x 2 )
u 2 = Θ ′x1 x3
Rozwiążemy zadanie "w naprężeniach", przyjmując funkcje naprężeń Prandtla znikającą
"tożsamościowo" na brzegu elipsy o średnicach 2a i 2b w formie równania elipsy:
2
2
(1)
x1 x 2
ϕ = C 2 + 2 − 1
b
a
Jak wiadomo, funkcja deplanacji w hipotezie kinematycznej wyrazi się przez ϕ następujaco:
∂ψ 2( 1 + ν ) ∂ϕ
=
+ x2
∂x1
Θ ′E ∂x 2
2( 1 + ν ) ∂ϕ
∂ψ
=−
− x1
∂x 2
Θ ′E ∂x1
(2)
wynika stąd warunek różniczkowy na ϕ:
ϕ ,11 + ϕ ,22 = −2GΘ '
Obliczmy stałą C z (1) tak, aby spełnić ten warunek:
2
a 2b 2
2
C 2 + 2 = 2GΘ ′ ⇒ C = − 2
GΘ ′
b
a + b2
a
(3)
x2 x2
a 2b 2
′ 12 + 2 − 1
GΘ
ϕ=− 2
a + b2
b2
a
(4)
Obliczymy naprężenia:
τ 13
a2
GΘ ′
= −2 x 2 2
a + b2
τ 23
b2
GΘ ′
= 2 x1 2
a + b2
(5)
Warunki równowagi są, oczywiście, automatycznie spełnione i nie musimy tego sprawdzać.
Rozpatrzmy warunki brzegowe naprężeniowe na powierzchni przekroju poprzecznego.
Suma rzutów na osie x1 i x2 znika, moment wokół osi x3 wynosi:
⇒
M s = 2∫ ϕ dx1dx 2
s
2
2
x1 x 2
M = 2C ∫ 2 + 2 − 1dx1dx 2
a
b
s
b 2 2
a − x1
a a
M = 2C ∫
−a b
−
a
2
2
x1 x 2
∫ 2 + 2 − 1dx 2 dx1
a
b
2
a 2 − x1
1
b 2 2
a − x1
a
M = 2C ∫
x2 +
− x2
b
3b
−a a
−
a
M = 2C
2
x1
2
a
3
x2
2
a
(
dx1
2
a 2 − x1
)
4b
2
2
2
2
2
2
∫ x a − x1 − a a − x1 dx1
3a 3 − a 1
a
a
a2
a4
x
a2
x
4b x 2
2
2
2
2
2
2 x
2
2
M = 2 3 C − (a − x1 ) a − x1 +
x a − x1 +
arc sin − a
2 a − x1 + 2 arc sin a
a −a
8
8
3a 4
−a
a
4b x 2
3a 2
3a 4
x
2
2
2
2
− (a − x1 ) a 2 − x1 −
M = 2 3 C
x a − x1 −
arc sin
8
8
a −a
3a 4
M = −πabC
M =
πa 3 b 3
GΘ ′
a2 + b2
Można teraz podać wzór na jednostkowy kąt skręcenia w typowej postaci, wyrażony przy
pomocy wskaźnika sztywności przekroju na skręcanie Js:
Θ′ =
(6)
Ms
J sG
Js =
πa 3 b 3
a2 + b2
Podobnie naprężenia (5) można teraz wyrazić przez w funkcji momentu skręcającego. Do
obliczenia τmax użyjemy wskaźnika wytrzymałości na skręcanie Ws:
τ 13 = −2 x 2
τ max =
a2 M s
a2 + b2 J s
Ms
Ws
τ 23 = 2 x1
Ws =
b2 M s
a2 + b2 J s
πa b 2
2
jeśli
b
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)