Wykład (3)

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 574
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wykład (3) - strona 1 Wykład (3) - strona 2 Wykład (3) - strona 3

Fragment notatki:

Wykład 3. Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju eliptycznym.
Hipoteza kinematyczna zakłada, jak poprzednio, sztywny obrót rzutu przekroju i jego
deplanację w płaszczyźnie prostopadłej do rzutu:
u1 = −Θ ′x 2 x3
u 3 = Θ ′ψ (x1 , x 2 )
u 2 = Θ ′x1 x3
Rozwiążemy zadanie "w naprężeniach", przyjmując funkcje naprężeń Prandtla znikającą
"tożsamościowo" na brzegu elipsy o średnicach 2a i 2b w formie równania elipsy:
2
2
(1)
 x1 x 2


ϕ = C  2 + 2 − 1

b
a

Jak wiadomo, funkcja deplanacji w hipotezie kinematycznej wyrazi się przez ϕ następujaco:
∂ψ 2( 1 + ν ) ∂ϕ
=
+ x2
∂x1
Θ ′E ∂x 2
2( 1 + ν ) ∂ϕ
∂ψ
=−
− x1
∂x 2
Θ ′E ∂x1
(2)
wynika stąd warunek różniczkowy na ϕ:
ϕ ,11 + ϕ ,22 = −2GΘ '
Obliczmy stałą C z (1) tak, aby spełnić ten warunek:
2 
a 2b 2
 2
C  2 + 2  = 2GΘ ′ ⇒ C = − 2
GΘ ′
b 
a + b2
a
(3)
 x2 x2

a 2b 2
′ 12 + 2 − 1
GΘ 
ϕ=− 2

a + b2
b2
a

(4)
Obliczymy naprężenia:
τ 13
a2
GΘ ′
= −2 x 2 2
a + b2
τ 23
b2
GΘ ′
= 2 x1 2
a + b2
(5)
Warunki równowagi są, oczywiście, automatycznie spełnione i nie musimy tego sprawdzać.
Rozpatrzmy warunki brzegowe naprężeniowe na powierzchni przekroju poprzecznego.
Suma rzutów na osie x1 i x2 znika, moment wokół osi x3 wynosi:

M s = 2∫ ϕ dx1dx 2
s
2
2
 x1 x 2

M = 2C ∫  2 + 2 − 1dx1dx 2
a

b
s

b 2 2
a − x1
a a
M = 2C ∫
−a b

a
2
2
 x1 x 2

∫  2 + 2 − 1dx 2 dx1
a

b
2

a 2 − x1 
1
b 2 2
a − x1
a


M = 2C ∫ 
x2 +
− x2 

 b
3b
−a  a
−
a
M = 2C
2
x1
2
a
3
x2
2
a
(
dx1
2
a 2 − x1
)
4b
2
2
2
2
2
2
∫ x a − x1 − a a − x1 dx1
3a 3 − a 1
a
a
a2
a4
x
a2
x 
4b  x 2
2
2
2
2
2
2 x
2
2
M = 2 3 C  − (a − x1 ) a − x1 +
x a − x1 +
arc sin  − a 
 2 a − x1 + 2 arc sin a  

a  −a
8
8
3a  4


 −a 


a
4b  x 2
3a 2
3a 4
x
2
2
2
2
 − (a − x1 ) a 2 − x1 −
M = 2 3 C
x a − x1 −
arc sin 
8
8
a  −a
3a  4

M = −πabC
M =
πa 3 b 3
GΘ ′
a2 + b2
Można teraz podać wzór na jednostkowy kąt skręcenia w typowej postaci, wyrażony przy
pomocy wskaźnika sztywności przekroju na skręcanie Js:
Θ′ =
(6)
Ms
J sG
Js =
πa 3 b 3
a2 + b2
Podobnie naprężenia (5) można teraz wyrazić przez w funkcji momentu skręcającego. Do
obliczenia τmax użyjemy wskaźnika wytrzymałości na skręcanie Ws:
τ 13 = −2 x 2
τ max =
a2 M s
a2 + b2 J s
Ms
Ws
τ 23 = 2 x1
Ws =
b2 M s
a2 + b2 J s
πa b 2
2
jeśli
b ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz