Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju dowolnym.

Nasza ocena:

5
Pobrań: 14
Wyświetleń: 392
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju dowolnym. - strona 1 Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju dowolnym. - strona 2 Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju dowolnym. - strona 3

Fragment notatki:

Wykład 2 (4 godziny)
Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju dowolnym.
Hipoteza kinematyczna:
załóżmy, że przemieszczenia są następującej postaci:
u1 = −Θ ′x 2 x3
u 3 = Θ ′ψ (x1 , x 2 )
u 2 = Θ ′x1 x3
Ilustruje to rysunek 2.1 i rysunek 2.2:
Rys. 2.1. a) obrót sztywny, b) skręcenie jednostkowe i kąt wzajemnego obrotu dwu
przekrojów, c) superpozycja skręcenia płaskiego jak w p. b) oraz deplanacji przekroju.
X2
u2 u
x2
Θ'x3
u1
X1
x1
S
Rys. 2.2. wektor przemieszczenia i jego składowe na osiach x1 i x2.
Kąt obrotu jest mały (na rysunku jest "powiększony". Składowe przemieszczenia w
płaszczyźnie przekroju liczymy tak, jak to było pokazane na wykładzie (i ćwiczeniach) z
kinematyki przy analizie małych obrotów tarczy sztywnej.
Obliczmy odkształcenia:
ε 11 = 0
1
ε 12 = Θ ′(x3 − x3 ) = 0
2
Pole naprężeń τ(x) jest następujące:
σ ( i )i = 0
ε 22 = 0
(
ε 33 = 0
1
ε 13 = Θ ′ ψ ,1 − x 2
2
)
(
1
ε 23 = Θ ′ ψ ,2 + x1
2
)
τ 12 = 0
1
τ 13 =
(
E 1
Θ ′ ψ ,1 − x 2
1 +ν 2
)
τ 23 =
Sprawdzamy, czy τ spełnia równania równowagi:
E
1 +ν
E
τ 23,3 =
1+ν
+ τ 23,2 = 0 ⇒
τ 13,3 =
τ 13,1
(
(
(
E 1
Θ ′ ψ ,2 + x1
1+ν 2
)
)
)
1
Θ ′ ψ ,1 − x 2 = 0
,3
2
1
Θ ′ ψ ,2 + x1 ,3 = 0
2
ψ ,11 + ψ ,22 = 0
(1)
Aby trzeci warunek równowagi był spełniony, funkcja deplanacji musi być harmoniczna.
Sprawdzamy, czy τ spełnia warunki brzegowe na pobocznicy pręta (wystarczy sprawdzić
trzecie równanie):
(
)
(
)
τ 13 n1 + τ 23 n 2 = 0 ⇒ ψ ,1 − x 2 n 2 + ψ ,2 + x1 n 2 = 0
niestety, równanie na brzegu jest trudne do spełnienia jak widać... Jeśli wprowadzimy
pomocnicza funkcję ϕ(x1,x2), tzw. funkcję naprężeń, otrzymamy łatwiejsze zagadnienie
brzegowe. Wykorzystajmy prostą reprezentacje stanu naprężenia (o jedynie dwu niezerowych
składowych) przy pomocy funkcji Prandtla ϕ(x1,x2):
τ 13 =
∂ϕ (x1 , x 2 )
τ 23 = −
∂x 2
∂ϕ (x1 , x 2 )
∂x1
reprezentacja ta jest tak skonstruowana, aby równanie równowagi było tożsamościowo
spełnione:
τ 13,1 + τ 23,2 = 0 ⇒ ϕ ,21 − ϕ ,12 = 0
Warunek brzegowy jest teraz wyjątkowo łatwy do spełnienia:
∂ϕ (x1 , x 2 )
∂x 2
n1 +
∂ϕ (x1 , x 2 )
∂x1
∂ϕ (x1 , x 2 ) dx 2
n2 = 0
∂x 2
ϕ (x1 , x 2 ) = const
ds
+
∂ϕ (x1 , x 2 ) dx1
∂x1
ds
=0

=0
ds
na brzegu.
x2
n
s
x1
dx2
ds
1
n1
n2
-dx1
Rys. 2.2. Ilustracja związków pomiędzy wektorem jednostkowym normalnym do brzegu n i
jego cosinusami kierunkowymi a elementem brzegu ds i jego rzutami dx1 i dx2.
Pozostaje ustalić związek pomiędzy ϕ(x1,x2) a funkcją deplanacji (obie reprezentują
odpowiednie naprężenia, można je więc porównać):
2

∂ϕ
E 1  ∂ψ
Θ ′
=
− x2 

∂x 2 1 + ν 2  ∂x1




∂ϕ
E 1  ∂ψ
Θ ′
=
+ x1 

∂x1 1 + ν 2  ∂x 2


(2)
Otrzymaliśmy zależności pomiędzy pochodnymi cząstkowymi obu funkcji. Równania
powyższe pozwalają wyznaczyć równanie różniczkowe, jakie powinna spełniać funkcja
reprezentacji Prandtla (jak dotąd znamy warunek brzegowy dla ϕ, nie znamy zaś równania
różniczkowego dla tej funkcji). Wystarczy zróżniczkować (2)1 po x2, (2)2 po x1,

(…)

… rzutów na osie x1 i x2 znika:
∂ϕ
∂ϕ
∫ τ 31dxdy = ∫ ∂y dxdy = ∫ ϕn2 ds = 0
S
∫ τ 32 dxdy = ∫ ∂x dxdy = ∫ ϕn1ds = 0
∂S
S
S
S
∂S
Moment wokół osi x3 wynosi (całkowanie przez części):
M =
∫ (− τ 31 x2 + τ 32 x1 )dxdy = ∫  − ∂x


S
∂ϕ
S
2
x2 +
∂ϕ 
x dxdy = − ∫ ϕ (− x 2 n2 + x1n1 )ds + 2 ∫ ϕdx1dx2
∂x1 1 

s
∂S
M = 2∫ ϕ dx1dx 2
s
Przedstawione sformułowanie jest podstawą dla wyprowadzenia wzorów…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz