3.7.1. Redukcja dowolnego układu sił do siły i pary sił
Dowolnym układem sił będziemy nazywać układ sił o liniach działania
dowolnie rozmieszczonych w przestrzeni. W tym punkcie zajmiemy się
sprowadzeniem (redukcją) takiego układu sił do najprostszej postaci, czyli do
najprostszego układu sił równoważnego danemu układowi sił.
Załóżmy, że mamy dowolny układ n sił Pk o punktach przyłożenia Ak (k = 1, 2 ,
. . . , n), jak na rys. 3.21. W celu redukcji tego układu przyjmijmy dowolny punkt O
nazywany biegunem redukcji. Położenie sił Pk w stosunku do bieguna redukcji
niech określają wektory rk.
W biegunie redukcji przyłóżmy n sił Pk oraz n sił o przeciwnych zwrotach:
P k′ = − P k . Takie postępowanie nie wpłynie na zmianę skutków
mechanicznych, ponieważ układ 2n sił przyłożonych w punkcie O jest
równoważny zeru. W konsekwencji otrzymaliśmy n sił Pk zbieżnych w biegunie
redukcji O oraz n par sił Pk i Pk przyłożonych odpowiednio w punktach Ak i O o
′
momentach równych momentowi siły Pk względem bieguna O, czyli
M O ( Pk ) = rk × Pk .
P1
A1
z
Ak
Pk
An
Pn
rk
MO
r1
-Pn
-Pk
W
P1
-P1
y
O
Pn
Pk
x
Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił
Wiadomo, że układ n sił zbieżnych w biegunie redukcji O można zastąpić jedną
siłą W, równą ich sumie geometrycznej (wzór 3.10), również przechodzącą przez
punkt zbieżności. Podobnie układ n par sił możemy zastąpić jedną parą
równoważną o momencie równym sumie geometrycznej momentów par
składowych (wzór 3.22). Możemy zatem zapisać:
⎫
⎪
⎪
k =1
⎬
n
n
M O = ∑ M O (Pk ) = ∑ rk × Pk ,⎪
⎪
k =1
k =1
⎭
W=
n
∑P ,
k
(3.24)
Siłę W nazywamy wektorem głównym, a moment MO momentem głównym.
Definicje wektora głównego i momentu głównego możemy ująć słownie:
Wektorem głównym układu sił nazywamy sumę geometryczną wszystkich sił
przyłożoną w dowolnie obranym biegunie redukcji O:
n
∑P .
W=
(3.25)
k
k =1
Momentem głównym układu sił względem bieguna redukcji O nazywamy sumę
geometryczną momentów wszystkich sił względem tego bieguna:
MO =
n
∑r
k
× Pk .
(3.26)
k =1
Na podstawie powyższych rozważań możemy stwierdzić, co następuje:
Dowolny układ sił działających na ciało sztywne można zastąpić układem
równoważnym składającym się z jednej siły W przyłożonej w dowolnie obranym
biegunie redukcji O oraz pary sił o momencie MO.
W celu obliczenia współrzędnych wektora głównego W i momentu głównego
MO przyjmiemy w biegunie redukcji O prostokątny układ współrzędnych x, y, z
(rys. 3.21). Ponadto założymy, że w tym układzie są znane współrzędne
Pkx , Pky i Pkz sił Pk oraz współrzędne x k , y k i z k wektorów rk ( k = 1, 2, . . . , n)
określających punkty przyłożenia tych sił.
Po oznaczeniu współrzędnych wektora głównego przez Wx , Wy i Wz na
podstawie twierdzenia o rzucie sumy współrzędne te będą równe sumie rzutów
wszystkich sił na poszczególne osie układu współ rzędnych:
n
Wx =
∑
k =1
n
Pkx ,
Wy =
∑
k =1
n
Pky ,
Wz =
∑P
kz .
(3.27)
k =1
Po oznaczeniu współrzędnych momentu głównego przez M Ox , M
(…)
… na gruncie statyki ciała sztywnego.
Równania równowagi (3.33) dotyczą dowolnego przestrzennego układu sił i jako takie zawierają w
sobie warunki równowagi prostszych układów sił. Przykładowo dla przestrzennego zbieżnego układu
sił omówionego w p. 3.4 moment główny względem punktu zbieżności będzie równy zeru, czyli
równania momentów będą tożsamościowo spełnione, a zatem otrzymamy tylko trzy równania…
… się zgodnie z twierdzeniem o momencie
głównym wg wzoru (3.29).
M O ′ = M O + O ′O × W .
(a)
Pomnóżmy skalarnie obie strony powyższego równania przez wektor główny
W:
W⋅ M O ′ = W⋅ M O + W⋅ (O ′O × W ).
(b)
Iloczyn mieszany występujący po prawej stronie tego równania jest równy zeru,
ponieważ zgodnie z zależnością (2.31) możemy napisać:
W⋅ ( O ′O × W ) = O ′O⋅ ( W × W ) = 0 .
Równanie (b) przybierze zatem…
… układzie
współrzędnych będą równe zeru. Zatem, aby wektory (3.30) były równe zeru, ich współrzędne
wyrażone wzorami (3.27) i (3.28) muszą być równe zeru. Stąd otrzymujemy sześć równań równowagi:
n
n
n
⎫
Pkx = 0,
Pky = 0,
Pkz = 0, ⎪
⎪
k =1
k =1
k =1
(3.33)
⎬
n
n
n
⎪
M kx = 0,
M ky = 0,
M kz = 0.
⎪
k =1
k =1
k =1
⎭
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Aby dowolny układ sił był w równowadze, sumy rzutów wszystkich sił na trzy osie…
… i sprowadzeniu do wspólnego
mianownika możemy napisać:
W ( W ⋅ M O ) − M O ( W⋅ W )
SO × W =
.
W2
Licznik po prawej stronie jest rozwinięciem podwojonego iloczynu wektorowego
(2.34). Po odpowiednim przestawieniu wyrazów po lewej stronie mamy
ostatecznie:
W × OS =
W× (W× M O )
.
(3.39)
W2
Łatwo sprawdzić, że ogólne rozwiązanie tego równania wektorowego ma
postać:
OS =
(W× M O ) + λ W ,
W2
(3.40)
gdzie λ…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)