To tylko jedna z 6 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wyklad 13 8 stycznia 2013 Tym razem podaje dow´ od Podstawowego Twierdzenia o Wielomianach Sy- metrycznych (Gaussa). Jednak caly dow´ od, bo jest nieco skomplikowany. 1 Wielomiany wielu zmiennych Niech bedzie dany pier´ scie´ n P calkowity. W´ owczas (P [x])[y] nazywamy pier- ´ scieniem wielomian´ ow dw´ och zmiennych. Pier´ scie´ n ten oznaczamy przez P [x, y]. U˙zycie powy˙zej nazwy pier´ scie´ n dla zbioru wielomian´ ow dw´ och zmiennych jest pozornym nadu˙zyciem. Nie udowodnili´ smy przecie˙z, ˙ze P [x, y] jest rze- czywi´ scie pier´ scieniem. Jednak wiemy ju˙z, ˙ze P [x] jest pier´ scieniem i to calkowi- tym. Wobec tego P [x, y] jako zbi´ or wielomian´ ow (zmiennej y) o wsp´ olczynnikach w pier´ scieniu calkowitym P [x] jest pier´ scieniem (calkowitym). Wielomianem n zmiennych x1, ..., xn nazywamy ka˙zdy element zdefiniowanego rekurencyjnie pier´ scienia pier´ scienia wielomian´ ow n zmiennych: P [x1, ..., xn] = P[x1, ..., xn−1][xn] Bardzo latwo stwierdzi´ c, ˙ze og´ olna posta´ c wielomianu v ∈ P [x1, ..., xn] jest nastepujaca v(x1, ..., xn) = ai 1 ,...,in x i1 · ... · xin (ai 1 ,...,in ∈ P nazywamy wsp´ olczynnikami wielomianu v). 2 Wielomiany symetryczne Twierdzenie 2.1 (Wzory Viety) Niech P bedzie pier´ scieniem calkowitym. Je´ sli v = a0 + a1x + . . . + anx n ∈ P [x] jest wielomianem stopnia n o n pier- wiastkach α1, . . . , αn (niekoniecznie r´ o˙znych) nale˙zacych do pewnego pier´ scienia L ⊃ P , w´ owczas v = k(x − α1) · . . . · (x − αn) i zachodza wzory (zwane wzorami Viety1): an = k 1Fran¸cois Vi`ete 1540-1603. 1 2 WIELOMIANY SYMETRYCZNE 2 an−1 = −k(α1 + . . . + αn) an−2 = k(α1α2 + α1α3 + . . . + αn−1αn) . . . a0 = k(−1) nα 1 · . . . · αn Dow.... Mo˙ze sie zdarzy´ c tak, ˙ze pierwiastkami wielomianu v = a0 + ... + anx n o wsp´ olczynnikach w pewnym pier´ scieniu sa elementy innego, obszerniejszego ni˙z P zbioru. Przyklady takich sytuacji znamy bardzo dobrze. 1. Pierwiastkiem wielomianu 2x + 1 o wsp´ olczynnnikach calkowitych jest liczba wymierna 1 2 . 2. Pierwiastkami wielomianu x2 + 1 ∈ Z[x] sa liczby zespolone i oraz −i. Z twierdzenia o wzorach Viety wynika jednak nastepujacy, wa˙zny wniosek. Wniosek 2.2 Je´ sli wielomian v ∈ P [x] ma pierwiastki α1, . . . , αn nale˙zace do pier´ scienia L zawierajacego P (pier´ scie´ n P jest podpier´ scieniem pier´ scienia L), w´ owczas 1≤i1
(…)
… liczby rozumiemy liczby naturalne o co najmniej setkach
z
miejsc znaczacych).
Twierdzenie 3.1 (Twierdzenie Wilsona) Liczba p ∈ N jest pierwsza wtedy
i tylko wtedy, gdy
(p − 1)! + 1 ≡ 0 (mod p)
(1)
Dow´d. ...
o
4
Podstawowe twierdzenie o wielomianach symetrycznych
Wielomian v ∈ P [x1 , ..., xn ] nazywamy symetrycznym je˙ eli dla dowolnej perz
mutacji σ ∈ Sn zachodzi wz´r
o
v(xσ1 , ..., xσn ) = v(x1…
… do´´ naturalny sklada sie z dw´ch cze´ci: dowodu istnienia
o
o
sc
o
s
i dowodu jednoznaczno´ci wielomianu w.
s
Dla dowodu istnienia wielomianu w o postulowanej w twierdzeniu wlasno´ci,
s
wprowadzimy w zbiorze jednomian´w porzadek leksykograficzny . Piszemy:
o
xa1 . . . xan
n
1
xb1 . . . xbn
1
(m´wimy: xa1 . . . xan poprzedza xb1 . . . xbn ) je˙ eli
o
z
n
1
1
2 John Wilson (1741-1793), z kt´rego nazwiskiem w spos…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)