Twierdzenie o momencie wypadkowej

3.5. Twierdzenie o momencie wypadkowej
Moment wypadkowej układu sił względem dowolnego punktu jest równy sumie
momentów sił składowych względem tego samego punktu.
Twierdzenie to jest znane pod nazwą twierdzenia Varignona.
Udowodnimy je na przykładzie n sił Pk (k = 1, 2, 3, . . . , n) przyłożonych
w punkcie A (rys. 3.18).
W punkcie 3.4.1 powiedzieliśmy, że
W
wypadkowa zbieżnego układu sił jest równa sumie
P2
wektorowej wszystkich sił:
P1
rA
W=
A
n
∑P
k
k =1
Pn
O
Rys. 3.18. Ilustracja do twierdznia o momencie wypadkowej
i jest również przyłożona do punktu A. Moment
względem dowolnego punktu O wypadkowej W
zgodnie z definicją momentu wektora względem
punktu (2.35) możemy zapisać jako
M O (W ) = rA × W .
Z drugiej strony sumę momentów wszystkich sił rozpatrywanego układu sił
względem tego samego punktu O wyraża zależność:
n
∑M
k =1
n
O
(Pk ) = rA × P1 + rA × P2 +,...,+ rA × Pk = ∑ rA × Pk .
k =1
Występujący w tej sumie wektor rA jest stały we wszystkich składnikach sumy.
Zatem na podstawie prawa rozdzielności mnożenia wektorowego względem
dodawania (2.24) można go wyciągnąć przed znak sumy:
n
∑
k =1
M O (Pk ) = rA ×
n
∑P
k
= rA × W .
k =1
Podane na początku tego punktu twierdzenie udowodniliśmy na przykładzie
zbieżnego układu sił. Twierdzenie to ma jednak charakter ogólny i dotyczy
dowolnego ukladu sił, który ma wypadkową. Wynika to z podanego w p. 3.1.1
określenia wypadkowej. Powiedziano tam również, że wypadkowa jest siłą
równoważną danemu układowi sił, czyli powodującą ten sam skutek mechaniczny.
Zatem jej moment względem dowolnego punktu musi być równy sumie momentów
wszystkich sił, równoważnych wypadkowej, względem tego samego punktu.
... zobacz całą notatkę