TWIERDZENIE O ISTNIENIU RÓŻNICZKI ZUPEŁNEJ
Twierdzenie (o istnieniu różniczki zupełnej)
Niech U TopR n ,
f :U R s ,
x0 U
f
w każdym punkcie zbioru U.
x j
oraz niech j 1,..., n
pochodne
cząstkowe
Jeśli
f
j 1, ..., n
C x0
x j
każda pochodna cząstkowa
jest ciągła w punkcie x0
to
1o d x0 f
istnieje różniczka
w punkcie x0
oraz
f
x0 h j
j 1 x j
n
2o d x0 f h
dla h h1 , ..., hn R n .
Dowód
Wystarczy rozważyć przypadek s=1, a poźniej utworzyć kombinację liniową rozwiązań
utworzonych dla poszczególnych składowych.
Niech s=1.
10 Załóżmy, że n=2.
Wybieramy punkt x ( x1 , x2 ) U . Wtedy r 0 : K ( x, r ) U .
Niech h (h1 , h2 ) K ((0, 0), r ) i h 0 ( tzn. (h1 , h2 ) (0, 0)).
Przedstawmy przyrost f funkcji f w punkcie x w postaci sumy dwóch różnic:
f f x h f x f x1 h1 , x2 h2 f x1 h1 , x2 f x1 h1 , x2 f x1 , x2
Ponieważ funkcja f x1 h1 , jest ciągła i różniczkowalna w [x2, x2+h2] zatem, na podstawie
twierdzenia Lagrange'a
1
c2 x2 , x2 h2 : f ( x1 h1 , x2 h2 ) f ( x1 h1 , x2 ) h2
f
x1 h1 , c2
x2
Podobnie, ponieważ funkcja f , x2 jest ciągła i różniczkowalna w [x1, x1+h1] zatem, na
podstawie twierdzenia Lagrange'a otrzymujemy
c1 x1 , x1 h1 : f ( x1 h1 , x2 ) f ( x1 , x2 ) h1
f
c1 , x2 .
x1
Stąd
f ( x h) f ( x) h1
f
c1 , x2 h2 f x1 h1 , c2 .
x1
x2
Obliczamy resztę
rx h f x h f x d x f (h) h1
f
c1 , x2 h2 f x1 h1 , c2 f x1 , x2 h1 f x1 , x2 h2
x1
x2
x1
x2
f
f
x1, x2 h2 f x1 h1 , c2 f x1 , x2
h1 c1 , x1
x
x
x1
x2
1
2
a następnie sprawdzamy, czy jest o(h),
rx h h1 f
f
h2 f
f
c1 , x1 x1 , x2
x1 h1 , c2 x1 , x2 gdy, h )0 0
h x2
( h1 2
h
h x1
x1
x2
ogr .
ogr.
f
f
x1 , x2
x1 , x2
x1
x2
Przy obliczaniu granicy skorzystaliśmy z następujących implikacji:
h1 0 x1 h1 x1 c1 x1
h1 0
h1 0
h2 0 x2 h2 x2 c2 x2
h2 0
h2 0
20 Dla n 2 stosujemy tzw. “zasadę łańcucha”. tzn. przyrost funkcji rozkładamy na sumę n
różnic:
j
j 1
n
f x0 h f x0 [ f x0 hk ek f x0 hk ek ],
j 1
k 1
k 1
gdzie e1, ... , en - wektory bazy kanonicznej w R n i postępujemy analogicznie jak w punkcie 10.
c
opracował Jacek Zańko
2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)