Twierdzenie o istnieniu różniczki zupełnej - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 693
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Twierdzenie o istnieniu różniczki zupełnej - omówienie - strona 1 Twierdzenie o istnieniu różniczki zupełnej - omówienie - strona 2

Fragment notatki:

TWIERDZENIE O ISTNIENIU RÓŻNICZKI ZUPEŁNEJ
Twierdzenie (o istnieniu różniczki zupełnej)
Niech U  TopR n ,
f :U  R s ,
x0  U
f

w każdym punkcie zbioru U.
x j


oraz niech j  1,..., n
pochodne
cząstkowe
Jeśli
f
j  1, ..., n
 C  x0 
x j
 


każda pochodna cząstkowa
jest ciągła w punkcie x0
to
1o d x0 f
 

istnieje różniczka
w punkcie x0
oraz
f
 x0  h j
j 1 x j
n
2o d x0 f h   
dla h  h1 , ..., hn   R n .
Dowód
Wystarczy rozważyć przypadek s=1, a poźniej utworzyć kombinację liniową rozwiązań
utworzonych dla poszczególnych składowych.
Niech s=1.
10 Załóżmy, że n=2.
Wybieramy punkt x  ( x1 , x2 )  U . Wtedy  r  0 : K ( x, r )  U .
Niech h  (h1 , h2 )  K ((0, 0), r ) i h  0 ( tzn. (h1 , h2 )  (0, 0)).
Przedstawmy przyrost f funkcji f w punkcie x w postaci sumy dwóch różnic:
f  f  x  h   f  x   f  x1  h1 , x2  h2   f x1  h1 , x2   f  x1  h1 , x2   f  x1 , x2 
Ponieważ funkcja f x1  h1 ,  jest ciągła i różniczkowalna w [x2, x2+h2] zatem, na podstawie
twierdzenia Lagrange'a
1
 c2   x2 , x2  h2  : f ( x1  h1 , x2  h2 )  f ( x1  h1 , x2 )  h2 
f
x1  h1 , c2 
x2
Podobnie, ponieważ funkcja f , x2  jest ciągła i różniczkowalna w [x1, x1+h1] zatem, na
podstawie twierdzenia Lagrange'a otrzymujemy
 c1   x1 , x1  h1  : f ( x1  h1 , x2 )  f ( x1 , x2 )  h1 
f
c1 , x2 .
x1
Stąd
f ( x  h)  f ( x)  h1 
f
c1 , x2  h2  f x1  h1 , c2 .
x1
x2
Obliczamy resztę
rx h   f x  h   f x   d x f (h)  h1
f
c1 , x2   h2 f x1  h1 , c2   f x1 , x2   h1  f x1 , x2  h2 
x1
x2
x1
x2
 f



f
x1, x2   h2  f x1  h1 , c2   f x1 , x2 
 h1  c1 , x1  
 x

 x

x1
x2
 1

 2

a następnie sprawdzamy, czy jest o(h),








rx h  h1  f
f
h2  f
f
c1 , x1   x1 , x2  
x1  h1 , c2   x1 , x2  gdy, h )0 0


 h  x2
 ( h1 2
h
h  x1
x1
x2
 


  
    

ogr .
 ogr. 



f
f
x1 , x2 
x1 , x2 
x1
x2
Przy obliczaniu granicy skorzystaliśmy z następujących implikacji:
h1  0  x1  h1  x1  c1  x1

h1 0
h1 0
h2  0  x2  h2  x2  c2  x2

h2 0
h2 0
20 Dla n 2 stosujemy tzw. “zasadę łańcucha”. tzn. przyrost funkcji rozkładamy na sumę n
różnic:
j
j 1
n

 

f x0  h   f x0    [ f  x0   hk ek  f  x0   hk ek ],

 

j 1
k 1
k 1

 

gdzie e1, ... , en - wektory bazy kanonicznej w R n i postępujemy analogicznie jak w punkcie 10.
c
opracował Jacek Zańko
2
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz