Suma wektorów - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 378
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Suma wektorów - omówienie - strona 1 Suma wektorów - omówienie - strona 2 Suma wektorów - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

2.2. Suma i różnica wektorów
Wektory swobodne można dodawać i odejmować geometrycznie (wykreślnie)
oraz analitycznie. Dodawanie geometryczne dwóch wektorów a i b polega na
c=a+b
a
B
C
b
−b
O
d=a−b
a
A
Rys. 2.6. Dodawanie i odejmowanie dwóch wektorów
zastosowaniu reguły równoległoboku. Wektory przenosimy równolegle tak, aby
ich początki znalazły się w dowolnym punkcie O, i budujemy na tych wektorach
równoległobok OACB pokazany na rys. 2.6. Sumą dodawanych wektorów a i b
nazywamy wektor c równy przekątnej równoległoboku:
c = OC = a + b .
Różnicę dwóch wektorów a − b otrzymamy przez dodanie do wektora a
wektora różniącego się od wektora b tylko zwrotem, czyli wektor przeciwny (− b):
d = a + ( − b) = a − b.
Odejmowanie dwóch wektorów przedstawiono na rys. 2.6 linią przerywaną.
Z rysunku wynika, że sumę dwóch wektorów przedstawia jedna przekątna, a
różnicę druga.
Większą liczbę wektorów można sumować, stosując regułę równoległoboku do
kolejnych wektorów. Jednak w tym przypadku wygodniej jest skorzystać z metody
wieloboku wektorów.
Gdy mamy n wektorów a1, a2, . . . , an, to do końca pierwszego wektora
przykładamy początek drugiego, a do końca drugiego początek trzeciego.
Postępując w ten sposób z kolejnymi wektorami, otrzymujemy konstrukcję
przedstawioną na rys. 2.7. Sumą n wektorów, zwaną sumą geometryczną,
nazywamy wektor a łączący początek pierwszego wektora z końcem ostatniego:
a = a1 + a 2 + . . . + a n =
n
∑a
k =1
k
.
(2.9)
an
a3
a3
a2
a1
a2
an
a1
a
A
O
Rys. 2.7. Dodawanie n wektorów
Omówioną konstrukcję nazywamy wielobokiem wektorów. Jeżeli koniec
ostatniego wektora pokrywa się z początkiem pierwszego, to suma wektorów jest
równa zeru: a = 0. Mówimy wtedy, że wielobok jest zamknięty. W przeciwnym
razie, tj. gdy a 0, wielobok jest otwarty.
Czytelnikowi pozostawiamy wykazanie, że do dodawania wektorów stosuje się
prawo przemienności:
a+ b = b+ a
oraz łączności
a + (b + c ) = (a + b ) + c .
Aby analitycznie dodać n wektorów, musimy je wyrazić za pomocą
współrzędnych z przyjętego układu współrzędnych:
(k = 1, 2, . . . n ).
a k = a kx i + a ky j + a kz k
Po podstawieniu tego wzoru do równania (2.9) otrzymamy:
n
n
k =1
k =1
(
)
n
n
n
k =1
k =1
k =1
a = ∑ a k = ∑ a kx i + a ky j+ a kz k = ∑ a kx i + ∑ a ky j + ∑ a kz k .
Po oznaczeniu w tym równaniu współrzędnych wektora a przez ax, ay, az mamy:
n
n
n
k =1
k =1
k =1
a x i + a y j+ a z k = ∑ a kx i + ∑ a ky j + ∑ a kz k .
Z obustronnego porównania wyrazów występujących przy
odpowiednich
wersorach otrzymujemy wzory na współrzędne wektora będącego sumą wektorów:
n
n
n
k =1
k =1
k =1
a x = ∑ a kx , a y = ∑ a ky , a z = ∑ a kz .
(2.10)
Otrzymane wyniki są zgodne z treścią znanego twierdzenia Charles’a, że rzut
sumy wektorów na dowolną oś jest równy sumie rzutów poszczególnych wektorów
na tę oś.
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz