To tylko jedna z 9 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Statystyka matematyczna i planowanie ...
15. ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH
Rozkład normalny (Gaussa)
Uznawany za najważniejszy rozkład w teorii prawdopodobieństwa
Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej o rozkładzie normalnym:
f ( x) =
1
σ 2π
⋅e
−
( x−µ )
2σ
2
2
σ0
Oznaczenie:
N(µ,σ)
µ - wartość średnia (oczekiwana)
σ - odchylenie standardowe
Wykład 3/ 1
Statystyka matematyczna i planowanie ...
Rozkład normalny standaryzowany
Standaryzacja zmiennej losowej
~ X − E ( X) X − µ
X=
=
σ
σ
2 ~
D (X) = 1
~
E ( X) = 0
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ,σ) to zmienna losowa
~ X−µ
X=
σ ma rozkład normalny N(0,1).
Gęstość prawdopodobieństwa wynosi wówczas:
2
f (x) =
1
2π
⋅e
x
−
2
Wykład 3/ 2
Statystyka matematyczna i planowanie ...
σ1σ2σ3σ4
Wykład 3/ 3
Statystyka matematyczna i planowanie ...
µ1 0, λ 0
Parametr λ jest związany z wartością oczekiwaną i wariancją następującymi
zależnościami:
1
E(X) =
λ
2
1
D (X) = 2
λ
Wykład 3/ 6
Statystyka matematyczna i planowanie ...
Dystrybuanta
dla x ≤ 0
⎧0
F( x ) = ⎨
⎩1 − exp( −λx ) dla x 0
Jednym z podstawowych zastosowań rozkładu wykładniczego jest ocena
niezawodności różnego rodzaju obiektów technicznych.
Funkcja niezawodności R(x) wyraża prawdopodobieństwo zdarzenia
losowego polegającego na tym, że czas poprawnej pracy obiektu X nie będzie
krótszy, niż pewna wyróżniona wartość x. Mówimy więc
R(x) = P(X ≥ x)
Wykład 3/ 7
Statystyka matematyczna i planowanie ...
Jak łatwo zauważyć
R( x ) = 1 − P( X
(…)
… matematyczna i planowanie ...
Jak łatwo zauważyć
R( x ) = 1 − P( X < x ) = 1 − F ( x )
dlatego, że zdarzenia losowe X ≥ x i X < x są zdarzeniami przeciwnymi i
tworzą zupełny układ zdarzeń.
Jeśli zmienna losowa X ma wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa to
funkcja niezawodności:
F )
644( x44
7
8
R( x ) = 1 − [ 1 − exp( −λx )] = exp( −λx )
Wykład 3/ 8
Statystyka matematyczna i planowanie ...
Rozkład chi…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)