Wykład 8
Rzutem ortogonalnym wektora u na wektor v nazywamy wektor uv ∈
Lin(v) taki, że u − uv ⊥v.
Twierdzenie 1 W każdej przestrzeni euklidesowej dla dowolnych wektorów
u, v istnieje dokładnie jeden rzut wektora u na wektor v.
Dowód Jeśli u = 0 lub v = 0 to twierdzenie jest oczywiste. Niech u i v będą
wektorami niezerowymi. Wektor uv ma postać kv. Ponieważ (u − uv |v) = 0
to 0 = (u − kv|v) = (u|v) − k(v|v) i mamy k = (u|v) . To dowodzi istnienia i
(v|v)
jednoznaczności.
Twierdzenie 2 Niech v1 , v2 , . . . , vn będzie bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej V . Wtedy każdy wektor v ∈ V może być przedstawiony w postaci
v = (v|v1 )v1 + (v|v2 )v2 + . . . + (v|vn )vn .
Dowód Ponieważ v1 , v2 , . . . , vn jest bazą przestrzeni V to dla dowolnego
wektora v istnieją skalary k1 , k2 , . . . , kn , takie że:
v = k1 v 1 + k2 v 2 + . . . + kn v n
Obliczmy (v|v1 ) = (k1 v1 + k2 v2 + . . . + kn vn |v1 ) = k1 (v1 |v1 ) + k2 (v2 |v1 ) + . . . +
kn (vn |v1 ), ponieważ baza jest ortonormalna to ostatnie wyrażenie jest równe
k1 , a więc:
(v|v1 ) = k1
Podobnie udowadnia się, że ki = (v|vi ).
Rzutem ortogonalnym wektora v na podprzestrzeń U n, a rząd macierzy współczynników jest równy n. Może się zdarzyć, że w wyniku pewnych pomiarów fizycznych pojawi się taki
układ równań. Z powodu niedokładności pomiarów taki układ może nie mieć
(…)
… Bessela mówi, że norma rzutu ortogonalnego jest mniejsza
bądź równa od normy wektora.
Metoda najmniejszych kwadratów
Rozważmy układ m równań liniowych z n niewiadomymi o współczynnikach rzeczywistych:
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a x + a x + ... + a x = b
21 1
22 2
2n n
2
.........
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
Założymy, że m > n, a rząd macierzy współczynników…
… + . . . + (h1 |hn )yn = (h1 |f )
(h2 |h1 )y1 + (h2 |h2 )y2 + . . . + (h2 |hn )yn = (h2 |f )
.........
(hn |h1 )y1 + (hn |h2 )y2 + . . . + (hn |hn )yn = (hn |f )
gdzie (|) oznacza standardowy iloczyn skalarny w przestrzeni Rn (jest to
również sposób wyznaczania rzutu wektora na podprzestrzeń). Wyznacznik
macierzy współczynników tego układu nazywamy wyznacznikiem Grama.
Zadanie Rozwiązać metodą…
…, (h1 |f ) = 15,
(h2 |h1 ) = 2, (h2 |h2 ) = 3, (h2 |f ) = 6
Zatem przybliżone rozwiązanie (w sensie najmniejszych kwadratów) spełnia
układ:
6x1 + 2y1 = 15
2x1 + 3y1 = 6
Formy dwuliniowe
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K (=R lub C). Funkcję:
f :V ×V →K
nazywamy formą dwuliniową jeśli ∀u, v, w ∈ V, ∀k ∈ K mamy:
(i) f (u + v, w) = f (u, w) + f (v, w),
(ii) f (ku, v) = kf (u, v),
(iii) f (u, v + w) = f (u, v) + f (u, w),
¯
(iv) f (u, kv) = kf (u, v).
3
Przykładem formy dwuliniowej może być iloczyn skalarny w przestrzeni euklidesowej.
Przyjmijmy teraz V = Rn , u = (x1 , x2 , . . . , xn ), v = (y1 , y2 , . . . , yn ) wtedy
jeśli f jest formą dwuliniową to istnieją współczynniki gij , i, j ∈ {1, . . . , n},
że:
n n
f (u, v) =
gij xi yj
i=1 j=1
dla każdych u, v. Wtedy dla macierzy G = [gij…
… ] będzie macierzą nad ciałem liczb zespolonych. Wtedy
A = AT = [aij ]T . Macierz A nazywamy macierzą hermitowską jeśli A∗ =
A.
Formę f nazywamy formą hermitowską jeśli jej macierz współczynników G
jest hermitowska. Zatem forma hermitowska spełnia tożsamość: ∀u, v ∈ V :
f (u, v) = f (v, u).
Macierz A nazywamy macierzą ortogonalną (unitarną) jeśli AT A = I (AA∗ =
I).
Macierz A nazywamy macierzą normalną jeśli AAT…
… = AT A (AA∗ = A∗ A).
∗
Forma kwadratowa
Funkcję:
g:V →R
nazywamy formą kwadratową jeśli istnieje forma dwuliniowa f : V × V →
R, taka że ∀v ∈ V, g(v) = f (v, v).
Twierdzenie 5 Jeśli g jest formą kwadratową w przestrzeni V = Rn to
istnieje dokładnie jedna symetryczna forma dwuliniowa f , że dla każdego
v ∈ V mamy g(v) = f (v, v).
4
Symetryczną formę dwuliniową f nazywamy formą biegunową formy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)