To tylko jedna z 16 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
7.5.1. Ruch bryły swobodnej
Swobodna bryła sztywna ma w przestrzeni sześć stopni swobody i do określenia
jej ruchu potrzeba sześciu równań ruchu. Ruch bryły możemy rozbić na ruch
środka masy, wywołany przez działanie wektora głównego sił zewnętrznych, i
obrót bryły względem środka masy, wywołany przez moment główny sił
zewnętrznych zredukowany do środka masy.
Do ułożenia równań ruchu bryły wykorzystamy wyprowadzone poprzednio
zasady pędu i krętu. W punkcie 7.2.3 wykazano, że pochodna pędu względem
czasu równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych opisuje ruch środka masy, a w
punkcie 7.3.5, że pochodna krętu zredukowanego do środka masy względem czasu
równa momentowi głównemu sił zewnętrznych opisuje obrót bryły względem
środka masy. Mamy więc dwa równania wektorowe opisujące ruch bryły
swobodnej:
dp
= W,
dt
dkC
= MC .
dt
(7.90)
Te dwa równania wektorowe są równoważne sześciu równaniom skalarnym.
Otrzymamy je po zrzutowaniu wektorów występujących w powyższych
równaniach na osie prostokątnego
z
z′
układu współrzędnych. Podobnie jak
MC
przy
obliczaniu
krętu
bryły
y′
przyjmiemy
dwa
układy
C
współrzędnych: jeden nieruchomy x,
W
y, z o początku w dowolnym punkcie
rC
O i drugi ruchomy x ′ , y ′, z ′ sztywno
związany z bryłą o początku w
O
środku masy C (rys. 7.24). Ponadto
x′
dla uproszczenia obliczeń założymy,
y
że osie x ′,y′, z′ układu ruchomego są
x
głównymi
centralnymi
osiami
Rys. 7.24. Ruch swobodny bryły sztywnej
bezwładności. Przy takim założeniu
zgodnie ze wzorem (7.66) kręt bryły
k C = ω x′ I x′ i ′+ ω y′ I y′ j′+ ω z′ I z′ k ′ ,
gdzie
I x′ ,I y′ ,I z′
a ω x′ , ω y′ , ω z′
ruchomym.
są
głównymi
centralnymi
momentami
(a)
bezwładności,
współrzędnymi wektora prędkości kątowej ω w układzie
W pierwszej kolejności obliczymy pochodną krętu kC względem czasu z
wykorzystaniem podanych w kinematyce bryły wzorów na pochodne względem
czasu wersorów układu ruchomego (5.31).
d i′
= ω× i ′,
dt
d j′
d k′
= ω× j′,
= ω× k ′ .
dt
dt
dω y ′
dkC
dω z′
dω x ′
= I x′
i ′+ I y ′
j′+ I z′
k ′+
dt
dt
dt
dt
d i′
d j′
d k′
+ I x′ ω x′
+ I y′ ω y′
+ I z′ ω z′
=
dt
dt
dt
dω y′
dω z ′
dω x′
i ′+ I y ′
j′+ I z′
k ′+
= I x′
dt
dt
dt
+ ω× (I x ′ ω x ′ i ′+ I y′ ω y′ j′+ I z′ ω z′ k ′) .
Wyrażenie w nawiasie w powyższym wzorze jest krętem bryły względem
środka masy. Zatem pochodna krętu kC względem czasu
dω y ′
dkC
dω x ′
dω z ′
i ′+ I y ′
j′+ I z′
k ′+ ω× k C .
= I x′
dt
dt
dt
dt
(7.91)
Po obliczeniu iloczynu wektorowego występującego w tym wzorze oraz
odpowiednim pogrupowaniu wyrazów otrzymamy ostatecznie:
d k C ⎡ dω x ′
⎤
= ⎢I x ′
+ (I z′ − I y′ )ω y′ ω z′ ⎥ i ′+
dt
dt
⎣
⎦
⎡ dω y ′
⎤
+ ⎢ I y′
+ (I x ′ − I z′ )ω x′ ω z′ ⎥ j′+
dt
⎣
⎦
⎡ dω z ′
⎤
+ ⎢ I z′
+ (I y′ − I x′ )ω x′ ω y′ ⎥ k ′ .
dt
⎣
⎦
(7.92)
Po zapisaniu występującego w równaniach (7.90) wektora głównego W i
momentu głównego MO w ruchomym układzie współrzędnych:
W = Wx′ i ′+ Wy′ j′+ Wz′ k ′,
M C = M Cx′ i ′+ M Cy′ j′+ M Cz′ k ′
oraz podstawieniu do drugiego równania (7.90) wzoru (7.92) i
(…)
…. Taki ruch bryły można jednoznacznie opisać jednym równaniem
ruchu w postaci kąta obrotu w funkcji czasu ϕ = ϕ(t).
l
z = z′
ε
ω
W
y′
Mo
ϕ
O
ϕ
rc
y
C
x
x′
Rys. 7.25. Ruch obrotowy bryły sztywnej wokół głównej osi bezwładności
Dla wyprowadzenia dynamicznego równania ruchu bryły założymy, że bryła
obraca się ruchem dowolnym, czyli że prędkość kątowa bryły nie jest stała, wokół
osi z = z ′ będącej główną osią…
…) oraz z równań (7.94) wynika, że w przypadku obrotu bryły
wokół głównej osi bezwładności układ sił zewnętrznych redukuje się do momentu
głównego MO leżącego na osi obrotu l i wektora głównego W leżącego w
płaszczyźnie x ′ y ′ i prostopadłego do tej osi.
Trzecie z równań (7.94) jest dynamicznym równaniem ruchu obrotowego bryły
i przy znanych warunkach początkowych pozwala na wyznaczenie równania jej
ruchu ϕ = ϕ…
…. Ruch obrotowy bryły sztywnej wokół osi dowolnej
Zatem przyśpieszenie aC środka masy bryły wyrazi wzór:
a C = ω× (ω× rC ) = ω(ω⋅ rC ) − rC ω 2 .
(g)
Jeżeli wektor wodzący rC środka masy zapiszemy za pomocą współrzędnych
w układzie ruchomym:
rC = x ′ i ′+ y ′ j′+ z ′ k ′,
C
C
C
to po zrzutowaniu wektora (g) na osie x ′ , y ′, z′ i odpowiednim pogrupowaniu
wyrazów otrzymamy wzory na współrzędne…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)