Różniczka zupełna - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 1036
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Różniczka zupełna - omówienie - strona 1 Różniczka zupełna - omówienie - strona 2 Różniczka zupełna - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

RÓŻNICZKA ZUPEŁNA
Niech  X ,
, Y ,  przestrzenie unormowane nad K,
U  TopX ,
f :U  Y ,
x0  U .
Różniczką zupełną (pochodną zupełną) odwzorowania f w punkcie x0 nazywamy
odwzorowanie liniowe i ciągłe Lx0  L X, Y) spełniające warunek
(
f x0  h   f x0   Lx0 h   oh  dla x0  h  U
lub równoważnie
f  x0  h   f x0   Lx0 h 
lim
 0 Y
h0
h
lub
f  x0  h   f  x0   Lx0 h   rx0 h , gdzie lim
h 0
  


część
liniowa
rx0 h 
h
 0.
reszta
Zatem funkcja f w punkcie x0 ma rózniczkę zupełną, jeśli przyrost funkcji można rozłożyć na
część liniową i nieliniową resztę, która jest funkcją typu o(h).
Różniczkę odwzorowania f w punkcie x0 oznaczamy też symbolem d x0 f lub f '  x0 .
Definicja
Jeśli f jest różniczkowalna dla każdego x  U , to odwozorowanie
f ' : U  x  d x f  L X,Y)
(
nazywamy odwzorowaniem pochodnym funkcji f.
1
Przykład


Zbadać różniczkowalność funkcji f : R 2  R 3 , f  x, y   xy, x  y, x 2  y 2 w punkcie
(x0, y0)=(2, 1).
Wybieramy wektor h=[h1, h2] i obliczamy przyrost f funkcji f w punkcie (x0, y0)
f  f  x0  h1 , y0  h2   f  x0 , y0   f 2  h1 , 1  h2   f 2, 1 


 2  h1 1  h2 , 3  h1  h2 , 2  h1   1  h2   2, 3, 5 
2
2


2
2
  2h2  h1  h1h2 , h1  h2 , 4h1  2h2  h1  h2  
 
   

 
 

liniowe
liniowe
 liniowe



 2h2  h1 , h1  h2 , 4h1  2h2   h1h2 , 0, h1  h2
   




część
liniowa
2
2
część
nieliniowa
Musimy pokazać, że część nieliniowa jest typu o(h).
lim
h h , 0, h
1 2
1
h
h 0
2
 h2
2
  lim h h , 0, h
1 2
h 0
2
1
2
 h2
h1  h2
2
2
  lim 


2
2
, 0, h1  h2  0, 0, 0,
h1 0 
2
2

h1  h2
h2 0

h1h2
skorzystalismy z
normy euklidesowej
liczymy granicę dla
każdej składowej osobno
gdzie granicę pierwszej składowej
lim
 h1 , h2 0 , 0 
h1h2
2
h1  h2
2
obliczyliśmy korzystając ze
współrzędnych biegunowych:
lim
r 0
  dow.
r cos  r sin 
 lim r cos  sin   0.
  
 
r 0
r
  dow.  ograniczone
0
Zatem udowodniliśmy, że część liniowa należy do klasy oh   f  D x0 , y0 .
Część liniowa stanowi różniczkę, czyli
d ( 2, 1) f h1 , h2   h1  2h2 , h1  h2 , 4h1  2h2 
lub korzystajacąc z macierzowego zapisu odwzorowania liniowego
1 2 
d ( 2,1) f h1 , h2   1 1h1 , h2 .


 4 2


2
Twierdzenie (o jednoznaczności różniczki w punkcie)
Jeśli istnieje różniczka d x0 f , to jest jedyna.
Uwaga
Jedyność różniczki odwzorowania określonego w przestrzeni o wymiarze dimX 1
uzyskujemy dzięki temu, że dziedzina tego odwzorowania jest zbiorem otwartym.
Przykład


Niech D   x, y  : 0  x  1, 0  y  x 2 ,
f : D  R,
f  x, y   x 3 .
Dziedzina funkcji nie jest zbiorem otwartym, D  TopR 2 .
Wyznaczamy różniczkę w punkcie (x0, y0)=(0, 0), który jest punktem skupienia dziedziny D.
I. Rozłóżmy przyrost w punkcie (0,0) na część liniową i nieliniową
f 0  h1 , 0  h2   f 0, 0   h1  0  h1

(…)

… x0 ( fg )  g x0   d x0 f  f x0   d x0 g
i
 f  g  x0   d x0 f  f x0   d x0 g
d x0   
, gdy g x0   0 .
g
g x0 2
 
Twierdzenie (o różniczce złożenia funkcji)
Niech X,Y,Z – przestrzenie unormowane nad K,
U  TopX , V  TopY ,
f :U  V , g :V  Z ,
x0  U , y0  f ( x0 )  V .
Jeśli
d x0 f  d y0 g ,
to
d x0 g  f 
i
d x0 g  f  d y0 g  d x0 f
Twierdzenie…
… x0  th   f x0  
lim 0

Dh f x0   lim

t 0
t 0
t
t




const
t  d x0 f h   o(th)

o(th) 
o(th) t  

 lim
 lim d x0 f h  
 lim d x f h  
h 
t 0
t 0
t
t  t 0  0
th 
t


  sgn t 




0


 
 

0
 d x0 f h 
c
Wniosek (o istnieniu pochodnych cząstkowych)
Niech X= K n . Jeśli
d x0 f ,
to

f
x0   f x0   d x0 f (e j )
x j
x j
 i  1…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz