Różniczka zupełna

Notatka składa się z 6 stron i zawarte w niej są takie rzeczy jak: definicje różniczki zupełnej, odwzorowanie pochodnym funkcji, twierdzenie o jednznaczności różniczki w punkcie, twierdzenie o liniowości różniczki względem odwzorowań, twierdzenie o różniczce iloczynu i ilorazu funkcji, twierdzenie o różniczce złożenia funkcji, twierdzenie o istnieniu pochodnej kierunkowej, przykład badania różniczkowalności funkcji
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   >                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

(…)

… , to jest jedyna.
Uwaga
Jedyność różniczki odwzorowania określonego w przestrzeni o wymiarze dimX >1
uzyskujemy dzięki temu, że dziedzina tego odwzorowania jest zbiorem otwartym.
Przykład


Niech D   x, y  : 0  x  1, 0  y  x 2 ,
f : D  R,
f  x, y   x 3 .
Dziedzina funkcji nie jest zbiorem otwartym, D  TopR 2 .
Wyznaczamy różniczkę w punkcie (x0, y0)=(0, 0), który jest punktem skupienia dziedziny D…
…
h1  h2
2
h1  h2
2

h1  h2
h1
2
 h1 
2
h1
 h1  h1 ,

h1 

0
gdzie ostatnia nierówność jest spełniona ponieważ dla h1 , h2   D zachodzi h2  h1 .
Z I i II wynika, że funkcja nie ma jednoznacznie określonej różniczki.
2
Wniosek
Funkcja o dziedzinie nie będącej zbiorem otwartym nie ma jednoznacznie określonej
różniczki.
Twierdzenie (o liniowości różniczki względem odwzorowań)
Niech X,Y…
… x0  th   f x0  
lim 0

Dh f x0   lim

t 0
t 0
t
t




const
t  d x0 f h   o(th)

o(th) 
o(th) t  

 lim
 lim d x0 f h  
 lim d x f h  
h 
t 0
t 0
t
t  t 0  0
th 
t


  sgn t 




0


 
 

0
 d x0 f h 
c
Wniosek (o istnieniu pochodnych cząstkowych)
Niech X= K n . Jeśli
d x0 f ,
to

f
x0   f x0   d x0 f (e j )
x j
x j
 i  1…
... zobacz całą notatkę