Różniczka zupełna-opracowanie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 77
Wyświetleń: 1267
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Pobierz notatkę
Podgląd dokumentu
Różniczka zupełna-opracowanie - strona 1 Różniczka zupełna-opracowanie - strona 2 Różniczka zupełna-opracowanie - strona 3

Fragment notatki:

RÓŻNICZKA ZUPEŁNA
Niech  X ,
, Y ,  przestrzenie unormowane nad K,
U  TopX ,
f :U  Y ,
x0  U .
Różniczką zupełną (pochodną zupełną) odwzorowania f w punkcie x0 nazywamy
odwzorowanie liniowe i ciągłe Lx0  L X, Y) spełniające warunek
(
f x0  h   f x0   Lx0 h   oh  dla x0  h  U
lub równoważnie
f  x0  h   f x0   Lx0 h 
lim
 0 Y
h0
h
lub
f  x0  h   f  x0   Lx0 h   rx0 h , gdzie lim
h 0
  


część
liniowa
rx0 h 
h
 0.
reszta
Zatem funkcja f w punkcie x0 ma rózniczkę zupełną, jeśli przyrost funkcji można rozłożyć na
część liniową i nieliniową resztę, która jest funkcją typu o(h).
Różniczkę odwzorowania f w punkcie x0 oznaczamy też symbolem d x0 f lub f '  x0 .
Definicja
Jeśli f jest różniczkowalna dla każdego x  U , to odwozorowanie
f ' : U  x  d x f  L X,Y)
(
nazywamy odwzorowaniem pochodnym funkcji f.
1
Przykład


Zbadać różniczkowalność funkcji f : R 2  R 3 , f  x, y   xy, x  y, x 2  y 2 w punkcie
(x0, y0)=(2, 1).
Wybieramy wektor h=[h1, h2] i obliczamy przyrost f funkcji f w punkcie (x0, y0)
f  f  x0  h1 , y0  h2   f  x0 , y0   f 2  h1 , 1  h2   f 2, 1 


 2  h1 1  h2 , 3  h1  h2 , 2  h1   1  h2   2, 3, 5 
2
2


2
2
  2h2  h1  h1h2 , h1  h2 , 4h1  2h2  h1  h2  
 
   

 
 

liniowe
liniowe
 liniowe



 2h2  h1 , h1  h2 , 4h1  2h2   h1h2 , 0, h1  h2
   




część
liniowa
2
2
część
nieliniowa
Musimy pokazać, że część nieliniowa jest typu o(h).
lim
h h , 0, h
1 2
1
h
h 0
2
 h2
2
  lim h h , 0, h
1 2
h 0
2
1
2
 h2
h1  h2
2
2
  lim 


2
2
, 0, h1  h2  0, 0, 0,
h1 0 
2
2

h1  h2
h2 0

h1h2
skorzystalismy z
normy euklidesowej
liczymy granicę dla
każdej składowej osobno
gdzie granicę pierwszej składowej
lim
 h1 , h2 0 , 0 
h1h2
2
h1  h2
2
obliczyliśmy korzystając ze
współrzędnych biegunowych:
lim
r 0
  dow.
r cos  r sin 
 lim r cos  sin   0.
  
 
r 0
r
  dow.  ograniczone
0
Zatem udowodniliśmy, że część liniowa należy do klasy oh   f  D x0 , y0 .
Część liniowa stanowi różniczkę, czyli
d ( 2, 1) f h1 , h2   h1  2h2 , h1  h2 , 4h1  2h2 
lub korzystajacąc z macierzowego zapisu odwzorowania liniowego
1 2 
d ( 2,1) f h1 , h2   1 1h1 , h2 .


 4 2


2
Twierdzenie (o jednoznaczności różniczki w punkcie)
Jeśli istnieje różniczka d x0 f , to jest jedyna.
Uwaga
Jedyność różniczki odwzorowania określonego w przestrzeni o wymiarze dimX 1
uzyskujemy dzięki temu, że dziedzina tego odwzorowania jest zbiorem otwartym.
Przykład


Niech D   x, y  : 0  x  1, 0  y  x 2 ,
f : D  R,
f  x, y   x 3 .
Dziedzina funkcji nie jest zbiorem otwartym, D  TopR 2 .
Wyznaczamy różniczkę w punkcie (x0, y0)=(0, 0), który jest punktem skupienia dziedziny D.
I. Rozłóżmy przyrost w punkcie (0,0) na część liniową i nieliniową
f 0  h1 , 0  h2   f 0, 0   h1  0  h1
3
3
Zatem L0, 0  h1 , h2   0 jest różniczką funkcji w punkcie (0, 0), jeżeli r ( h1 , h2 )  h13 jest
typu o(h).
Sprawdzamy czy r h   oh  :
lim
( h1 , h2 ) ( 0, 0 )
h1
2
3
h1  h2
2
 0,
ponieważ
r 3 cos 3 
lim
 lim r 2 cos3   0.

r 0
r 0   
r
 ograniczone
  dow.
  dow. 0
3
II. Wyznaczamy część liniową w inny sposób


f h1 , h2   f 0, 0   h2  h1  h2 .
 
 
liniowe
3
nieliniowe
Zatem L0,0  h1 , h2   h2 , jeżeli r h1 , h2   h13  h2 jest typu oh .
Sprawdzimy, czy reszta jest typu o(h).
3
Na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach
3
3
0
h1  h2
2
h1  h2
2

2
h1  h2
lim
( h1 , h2 )  ( 0 , 0 )
3
h1  h2
2

h1  h2
2
h1  h2
2
 0, bo
3
h1  h2
2
h1  h2
2

h1  h2
h1
2
 h1 
2
h1
 h1  h1 ,

h1 

0
gdzie ostatnia nierówność jest spełniona ponieważ dla h1 , h2   D zachodzi h2  h1 .
Z I i II wynika, że funkcja nie ma jednoznacznie określonej różniczki.
2
Wniosek
Funkcja o dziedzinie nie będącej zbiorem otwartym nie ma jednoznacznie określonej
różniczki.
Twierdzenie (o liniowości różniczki względem odwzorowań)
Niech X,Y – przestrzenie unormowane nad ciałem K,
U  TopX ,
f , g :U  Y ,
x0  U ,
f , g  D x0  oraz niech α,β  K.
Wtedy
d x0 (f  g ) (istnieje rózniczka kombincji liniowej funkcji f i g)
oraz
d x0 (f  g )    d x0 f    d x0 g.
4
Twierdzenie (o różniczce iloczynu i ilorazu funkcji)
Jeśli dodatkowo założymy, że Y=K, to
f 
d x0 ( fg )  d x0   (istnieją rózniczki iloczynu i ilorazu)
g
 
oraz
d x0 ( fg )  g x0   d x0 f  f x0   d x0 g
i
 f  g  x0   d x0 f  f x0   d x0 g
d x0   
, gdy g x0   0 .
g
g x0 2
 
Twierdzenie (o różniczce złożenia funkcji)
Niech X,Y,Z – przestrzenie unormowane nad K,
U  TopX , V  TopY ,
f :U  V , g :V  Z ,
x0  U , y0  f ( x0 )  V .
Jeśli
d x0 f  d y0 g ,
to
d x0 g  f 
i
d x0 g  f  d y0 g  d x0 f
Twierdzenie (o istnieniu pochodnej kierunkowej)
Niech X , Y  przestrzenie unormowane nad K ,
U  TopX ,
f :U  Y ,
x0  U .
Jeśli
d x0 f ,
to
h X ,
h  1 : Dh f ( x0 )  Dh f  x0   d x0 f ( h).
 
 

 
pochodna kierunkowa
w kierunku
wektora h
wartość różniczki
w punkcie x0
na wektorze h
5
Dowód
Niech h  X ,
h  1. Wtedy
bo istnieje
różniczka
różniczka jest
odwzorowaniem linowym
d x f th   o(th) 
f x0  th   f x0  
lim 0

Dh f x0   lim

t 0
t 0
t
t




const
t  d x0 f h   o(th)

o(th) 
o(th) t  

 lim
 lim d x0 f h  
 lim d x f h  
h 
t 0
t 0
t
t  t 0  0
th 
t


  sgn t 




0


 
 

0
 d x0 f h 
c
Wniosek (o istnieniu pochodnych cząstkowych)
Niech X= K n . Jeśli
d x0 f ,
to

f
x0   f x0   d x0 f (e j )
x j
x j
 i  1, 2, ..., n.
Twierdzenie
f  Dx0 

f  C x0 
Dowód
Wynika bezpośrednio z definicji różniczki.
c
opracował Jacek Zańko
6
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz