wykład II 1 Rachunek prawdopodobie ń stwa Do ś wiadczenie losowe - takie, którego wyniku nie da się przewidzieć. Zdarzenie losowe - wynik doświadczenia losowego. Ω - zbiór zdarze ń elementarnych (najmniejszych, niepodzielnych) np : doświadczenie losowe: rzut kostką , { } 6 5 4 3 2 1 , , , , , = Ω , doświadczenie losowe : rzut monetą, { } reszka , orzel = Ω . Zdarzenie losowe jest podzbiorem zbioru Ω np. w rzucie kostką zdarzenie A : wypadła parzysta liczba oczek mo na zapisać A={2,4,6}. Prawdopodobie ń stwo - funkcja przyporządkowująca zdarzeniom liczbę ) A ( P A : P → , gdzie Ω ⊆ A spełniająca następujące aksjomaty (warunki): 1. 0 ≥ ) A ( P 2. 1 = Ω ) ( P 3 dla ka dego ciągu zdarzeń rozłącznych (tzn. wykluczających się) K , A , A 2 1 zachodzi ( ) ∑ ∞ = = ∞ = 1 1 i i i i A P A P U . Z powy szej (aksjomatycznej) definicji prawdopodobieństwa wynikają między innymi następujące wnioski: 1. 0 1 ≥ ≥ ) A ( P 2. ( ) ( ) A P A P − = ′ 1 , gdzie A’ oznacza zdarzenie przeciwne do A. 3. ( ) ( ) ( ) ( ) B A P B P A P B A P ∩ − + = ∪ 4. Jeśli ( ) ( ) B P A P B A ≤ ⇒ ⊆ . wykład II 2 Jeśli Ω składa się z n zdarzeń jednakowo prawdopodobnych to ( ) n m A P = , gdzie m - ilość zdarzeń „sprzyjających” A. Przykład. Rzucamy 3 razy monetą (to jest nasze doświadczenie losowe). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } R , R , R , R , R , O , R , O , R , O , R , R , R , O , O , O , R , O , O , O , R , O , O , O = Ω . Niech zdarzenie A oznacza- wypadły 2 orły. Więc ( ) ( ) ( ) { } O , O , R , O , R , O , R , O , O A = i ( ) 8 3 = A P . Prawdopodobie ń stwo warunkowe zajścia zdarzenia B pod warunkiem , e zaszło zdarzenie A (zakładamy, e P(A)0) ( ) ( ) ( ) A P A B P A B P ∩ = . Zdarzenia niezale ne - A i B są niezale ne, jeśli ( ) ( ) ( ) B P A P B A P ⋅ = ∩ . Przykład. Mamy 2 elementy działające niezale nie, które mogą się popsuć. Oznaczmy
(…)
… (≥50) a p
dostatecznie małe (≤0.1) oraz n ⋅ p ≤ 10 to rozkład dwumianowy mo e być
przybli ony rozkładem Poissona z parametrem λ = n ⋅ p , czyli
k
n k
n−k
− np (np )
p (1 − p ) ≈ e
k
k!
(porównaj poni sze wykresy rozkładów prawdopodobieństwa).
rozkład Poissona λ =5
rozkład dwumianowy n=100 p=0,05
0,2
0,2
0,15
0,15
0,1
0,1
0,05
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
Zadanie do zrobienia
Wiadomo, e wśród nasion traw jest 1% chwastów. Pobrano próbę 100 nasion .
Jakie jest prawdopodobieństwo, e nie będzie wśród nich chwastów? Obliczyć
to prawdopodobieństwo z rozkładu dwumianowego (dlaczego?) a następnie
korzystając z przybli enia rozkładem Poissona.
10
wykład II
Zadania na ćwiczenia
Zad. 1
Pewna metoda wykrywania uszkodzeń daje następujące wyniki…
…. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa X i dystrybuantę tego rozkładu.
4
wykład II
Rozwiązanie: przestrzeń zdarzeń elementarnych
Ω = {(O, O), (O, R), ( R, O), ( R, R)} składa się z 4 jednakowo prawdopodobnych
zdarzeń.
Zmienna losowa X przyjmuje wartości 0,1,2 . Rozkład przedstawiony w tabelce
wygląda następująco
xi
pi
0
¼
1
½
2
¼
Mo na go te przedstawić graficznie
½
¼
0
1
2
Dystrybuanta F(x)=P(X≤x) wygląda…
… prawdopodobieństwa
xi
-1
0
1
2
pi
0,2
0,1
0,2
0,5
Sprawdzić, czy rozkład jest poprawnie zdefiniowany. Przedstawić go graficznie. Znaleźć
wartość oczekiwaną , wariancję i dystrybuantę.
Zad.3.
Z partii nasion o sile kiełkowania 90% (tzn. prawdopodobieństwo wykiełkowania dla ka dego
nasiona =0.9) wylosowano 5 nasion i je wysiano. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa
liczby wykiełkowanych nasion. Obliczyć jego wartość…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)