Estymacja parametrów - notatki z wykładu 1

Nasza ocena:

5
Pobrań: 105
Wyświetleń: 1218
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Estymacja parametrów - notatki z wykładu 1 - strona 1 Estymacja parametrów - notatki z wykładu 1 - strona 2 Estymacja parametrów - notatki z wykładu 1 - strona 3

Fragment notatki:


Estymacja parametrów Krzysztof Topolski Estymacja parametrów Rozkład zmiennej losowej Definicja. Dystrybuantą rozkładu zmiennej losowej  X  nazywamy funkcję FX  ( x ) zdefiniowaną dla wszystkich  x  jako FX  ( x ) =  P (ω :  X  (ω) ≤  x ). Estymacja parametrów Rozkład zmiennej losowej Przykład. Rzucamy monetą aż do momentu wyrzucenia orła. Niech  p  będzie prawdopodobieństwem wyrzucenia orła w jednym rzucie. Niech  X będzie zmienną losową opisującą liczbę rzutów do momentu wyrzucenia orła. Wtedy P ( X  =  x  ) = (1 −  p ) x  −1 p , Ponieważ zakładamy, że rzuty są niezależne, a aby orzeł pojawił się w rzucie o numerze  x  musimy najpierw wyrzucić  x  − 1 razy reszki. Estymacja parametrów Rozkład zmiennej losowej Przykład. Rzucamy monetą aż do momentu wyrzucenia orła. Niech  p  będzie prawdopodobieństwem wyrzucenia orła w jednym rzucie. Niech  X będzie zmienną losową opisującą liczbę rzutów do momentu wyrzucenia orła. Wtedy P ( X  =  x  ) = (1 −  p ) x  −1 p , Ponieważ zakładamy, że rzuty są niezależne, a aby orzeł pojawił się w rzucie o numerze  x  musimy najpierw wyrzucić  x  − 1 razy reszki. Estymacja parametrów Rozkład zmiennej losowej Przykład. Rzucamy monetą aż do momentu wyrzucenia orła. Niech  p  będzie prawdopodobieństwem wyrzucenia orła w jednym rzucie. Niech  X będzie zmienną losową opisującą liczbę rzutów do momentu wyrzucenia orła. Wtedy P ( X  =  x  ) = (1 −  p ) x  −1 p , Ponieważ zakładamy, że rzuty są niezależne, a aby orzeł pojawił się w rzucie o numerze  x  musimy najpierw wyrzucić  x  − 1 razy reszki. Estymacja parametrów Przykład cd. Dla dowolnej liczby naturalnej  x  , P ( X  ≤  x  ) = x i  =1 P ( X  =  i  ) = x i  =1 (1 −  p ) i  −1 p . n k =1 q k −1 = 1 −  qn 1 −  q , t  = 1. FX  ( x ) =  P ( X  ≤  x ) = 1 − (1 −  t ) x 1 − (1 −  p ) p = 1 − (1 −  t ) x  , x  = 1, 2, ... . Estymacja parametrów Przykład cd. Dla dowolnej liczby naturalnej  x  , P ( X  ≤  x  ) = x i  =1 P ( X  =  i  ) = x i  =1 (1 −  p ) i  −1 p . n k =1 q k −1 = 1 −  qn 1 −  q , t  = 1. FX  ( x ) =  P ( X  ≤  x ) = 1 − (1 −  t ) x 1 − (1 −  p ) p = 1 − (1 −  t ) x  , x  = 1, 2, ... . Estymacja parametrów Przykład cd. Dla dowolnej liczby naturalnej  x  , P ( X  ≤  x  ) = x i  =1 P ( X  =  i  ) = x i  =1 (1 −  p ) i  −1 p . n

(…)

… ma postać
d e −x
fX (x) = FX (x) = .
dx (1 + e −x )2
Estymacja parametrów
Transformacje zmiennych losowych
Twierdzenie.
Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie z gęstością fX (x) oraz
niech Y = g (X ), gdzie g jest funkcją ściśle monotoniczną.
Załóżmy, że fX (x) jest funkcją ciągłą oraz, że g −1 (y ) jest funkcją z
ciągłą pochodną. Wtedy gęstość rozkładu zmiennej losowej Y jest
postaci
d −1
fY (y ) = fX…
… oczekiwana
Przykład.
Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z
gęstością rozkładu
1 −x
fX (x) = e λ, 0 ≤ x < ∞, λ > 0.
λ
Estymacja parametrów
Przykład cd.
Wartość oczekiwana EX dla zmiennej losowej o rozkładzie
wykładniczym jest równa
∞ ∞
1 x
EX = x fX (x) = x e − λ dx
−∞ 0 λ
(całkując przez części)

x ∞ 1
= −xe − λ + e − λ x dx
0 0
∞ 1
= e − λ x dx = λ
0
Estymacja parametrów
Przykład cd…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz