Zmienne losowe
Dla określenia zmiennej losowej potrzebna jest znajomość tzw. trójki probabilistycznej. Załóżmy, że dana jest przestrzeń probabilistyczna (E, S, P).
Zmienną losową X nazywamy funkcję rzeczywistą określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych E i mierzalną względem ciała zdarzeń S:
,
która każdemu zdarzeniu elementarnemu e∈E przyporządkowuje liczbę rzeczywistą X(e)∈R
Jest zmienną, która w wyniku doświadczenia (losowego) przyjmuje jedną i tylko jedną wartość ze zbioru wszystkich wartości, jakie zmienna ta może przyjąć.
Jest to wielkość, która na skutek przeprowadzonego doświadczenia przyjmuje określoną wartość, znaną dopiero po wykonaniu tego doświadczenia (oznaczenie: X, Y, wartości, jakie przyjmuje: x, y).
Wzajemne przyporządkowanie zmiennych losowych i zdarzeń jest jednoznaczne, Rodzaje zmiennych losowych:
skokowa (dyskretna) - jest to zmienna, która posiada skończony lub policzalny zbiór wartości, najczęściej są to liczby naturalne (np. liczba oczek wyrzucona za pomocą kostki do gry),
ciągła - jest to zmienna, która może przybierać dowolne wartości liczbowe (rzeczywiste) z pewnego przedziału, nieskończonego i niepoliczalnego (np. stężenie procentowe roztworu).
Zmienna losowa skokowa
Dla zmiennej losowej skokowej X, która przybiera wartości: x1, x2, ..., xn i odpowiadającym i prawdopodobieństwom p1, p2, ..., pn, definiuje się funkcję rozkładu prawdopodobieństwa jako:
Dystrybuantą zmienne losowej X nazywany funkcję F(x) zmiennej rzeczywistej x, która wyznacza prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie w uporządkowanym zbiorze x1 ≤ x2 ... ≤ xi ≤ ...xn-1≤ xn wartość mniejszą od x:
Dla zmiennej losowej skokowej:
Własności dystrybuanty:
przyjmuje wartości z przedziału 0 ≤ F(x) ≤ 1 dla x ∈ (-∞;+∞);
jest funkcją niemalejącą, tzn. dla x1
(…)
… sumujących się do jedności. Można jednak przyporządkować prawdopodobieństwa przedziałom liczbowym:
P(x < X < x+Δx)
gdzie Δx jest długością przedziału o początku w x.
Jeżeli Δx → 0 oraz istnieje granica funkcji f(x) w postaci:
to granicę tę nazywamy funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmuje wartość z przedziału (a, b) - skończonego lub nieskończonego - jest całką funkcji gęstości prawdopodobieństwa w tym przedziale:
Jeżeli zmienna losowa X przybiera wartości z przedziału skończonego (a, b) lub nieskończonego (-∞, +∞) to funkcja f(x) musi spełniać warunek:
Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa ciągła X przyjmie dokładnie wartość a (gdzie a jest dowolną stałą) jest równe zeru:
Nie oznacza to, że zdarzenie x = a jest niemożliwe, jest tylko bardzo mało prawdopodobne, ponadto, prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie wartość inną niż x = a jest równe jedności, co nie świadczy o tym, że jest ono pewne, jest tylko wysoce prawdopodobne.
Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej F(x)=P(X<x) - jest definiowana podobnie jak dla zmiennej losowej skokowej, z tym, że suma jest zastąpiona całką:
gdzie f(x) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej…
… się, a wynik danego doświadczenia nie wpływa na wynik następnego - schemat Bernoulliego.
Prawdopodobieństwa poszczególnych wartości i dystrybuanta:
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 6/32 lub P(X < 2) = F(2) = 6/32
P(X ≥ 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - F(3) = 1 - 16/32 = 16/32
Funkcje standardowe programu Excel związane z rozkładem dwumianowym
Rozkład Poissona
Jeżeli prawdopodobieństwo zmiennej losowej X jest opisane…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)