Przestrzenie mierzalne . Funkcje mierzalne i funkcje proste. -zb. wszystkich podzbiorów X L -algebra { }-min }
Algebry Borela: ,
- najmniejsza algebra zawierająca zb. otwarte i domknięte
gdy X: h{ } ,… , ,…} = = gdy X=[0,1] to bierzemy ([0,1])
Rozważamy (X, )
Przestrzeń mierzalna to para uporządkowana (X , gdzie el. to zbiory mierzalne w X, dodatkowo na X określono strukturę mierzalną .
(X, )-przestrzeń mierzalna , -struktura mierz.
(X,{ ,X}) ; ( , ) Def . Niech f:X-Y , (X, ) , (Y, ) ( struktury mierzalne = ( )- mierzalność )
Mówimy, że f-mierzalna (B) , - f : X Y , = , -wszystkie f mierzalne
- f : (X,{X,∅}) (Y, ) , nie wszystkie mierzalne , mierzalne są f : =x lub (B)=∅ , f : X ) , X |p. metryczna, topologiczna
Jeżeli f: (X) ( -f.mierzalne borelowskie f.Borela
Dla (X, , -mierzalność
Niech X-zb z przestrzeni /metrycznej /topologicznej lub (X, (X))-przestrzeń mierzalna
(X, (X)) ( / ( )
Tw. f C(X), f-funkcja ciągła na X = f ∈ S(X) ,f- mierzalna na X (tw odwrotne nie zachodzi )
Dowód: Zb. Borela opisujemy przez zb. otwarte. Własności przeciwobrazów funkcji pozwalają stwierdzić, że jeżeli (U) - zb otwarty , = -zb Borela Wniosek: f: - mierzalna -zb mierzalny (mogą być też zbiory (-∞,c] [c,-∞) [c, +∞) )
C(X) S(X) ; X=[0,1] ; = ([0,1])
{x} ∈ ([0,1]), bo [-1,x]∩[0,1]={x} czyli - zb mierzalny
0∩[0,1] = = [0,1] -zb mierzalny f (x)= - f. mierzalna stąd f-cja Dirichleta jest mierzalna ale nie jest ciągła.
(X, )-przestrzeń mierzalna A∈X
: X - funkcja charakterystyczna Fakt A∈ - mierzalne -f-cja mierzalna
Np. f. Dirichleta - f. charakterystyczna na zb w przedziale [0,1] , n
Natomiast f= -funkcja prosta
Funkcja prosta to f. przyjmująca skończoną ilość wartości : , , … , Tw . Każda funkcja mierzalna : [ ∀ f∈ S(X, ) ] jest granicą pewnego ciągu funkcji prostych i mierzalnych. Można przy tym zarządać, aby ciąg ten był ciągiem rosnącym po wyrazach nieujemnych, gdy f. jest nieujemna: f(x)0 lub ciągiem jednostajnie zbieżnym, gdy f-ograniczona
( ) - f. proste : f(x)= gdy a) f ≥ 0 : , b) f M(x) : f(x)
funkcje mają postać f= Dowód : wystarczy przyjąć : - f-cje ciągłe i mierzalne, bo:
; ;
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)