To tylko jedna z 12 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
WYKŁAD 1 Ω - zbiór zdarzeń elementarnych, możliwe wyniki zdarzenia myślowego
Def: Klasę F podzbiorów Ω nazywamy σ-ciałem , gdy:
Ω є F
dla każdego A є F: A' є F
jeżeli A1,…An є F to Uwagi:
z prawa de Morgana ostatni warunek można zapisać: jeżeli A1,…An є F to , gdyż Jeżeli w warunku 3: a) A n+1 =A n+2 =…=ø to b) A n+1 =A n+2 =…= Ω to z warunku 1 i 3 wynika, ze warunek 1 F - niepusta jeżeli A,B є F to: Klasa - min σ-ciało; klasa 2^ Ω - max
Def: niech - dowolna klasa zb. σ-ciałem generowanym przez klasę nazywamy najmniejsze σ-ciało zawierające i oznaczamy σ()
Def: Zb. Borelowskimi w R nazywamy el. σ-ciała generowanego przez przedziały [a,b]; w R n - El. kostki generowanej przez [a 1 ,b 1 ]… [a n ,b n ]; w przestrzeni metrycznej to el. σ-ciała generowanego przez przedziały otwarte.
Def: Klasę zb. F nazywamy π-układem jeżeli: (klasa zamknięta ze względu na skończony iloczyn).
WYKŁAD 2 Aksjomatyka rachunku prawdopodobieństwa (Ω, F) - przestrzeń mierzalna
Def: Funkcję P:F-R nazywamy rozkładem prawdopod./miarą probabilistyczną na (Ω, F) , gdy:
A1: A2: A3: Wtedy (Ω, F, P) - przestrzeń probabilistyczna
Def: Każdy zb. A є F taki, ze P(A)=1 nazywamy nośnikiem rozkładu prawdopodobieństwa .
Podstawowe własności: W1. monotoniczność Jeżeli AB - zdarzenia to P(A)P(B)
W2. zdarzenia przeciwne: P(A)+P(A')=1, bo W3. prawdopod. sumy
W4. wzór włączeń i wyłączeń
Dla dowolnych zdarzeń: niech: Dodatkowo C E - rozłączne (różnią się i-tą pozycją) czyli Dodatkowo bo inaczej C E byłoby dopełnieniem zewnętrznym sum.
Pokażemy, ze jest liczony po prawej stronie tylko raz. Niech: (liczba „1” w ciagu )
Wtedy Dodatkowo W5. skończona subaddytywność (oszacowanie z góry)
Niech: B 1 =A 1 W6. oszacowanie dolne
Dowod: Po lewej jest liczone 1 raz
Pokażemy, że po prawej stronie jest liczone co najmniej raz. Niech ; rozpatrujemy C E liczone po prawej stronie. Wtedy:
W7. ciągłość z dolu Jeżeli (An ciag zbieżny do A AnAn +1 - ciag wstępujący i ) to Niech B 1 =A 1 W8. ciągłość z góry
Jeżeli ( An +1 An- ciag zstępujący i ) to , bo:
W9. przeliczalna subaddytywnosc
Dowod: z W5 W10. jeżeli
(…)
… przeliczalnych operacji na zdarzeniach Tw: Jeżeli pp to Dowód: niech: Słabe prawo wielkich liczb (SPWL)
Def. Mówimy, że dla ciągu zm los {Xn} zachodzi SPWL jeżeli istniej ciąg liczbowy cn: Tw: SPWL Czybyszewa
Jeżeli {Xn}- niezal zam los EXn=mn, VarX=σ2< i to dla {Xn} zachodzi SPWL z ciągiem czyli Dowód: ustalamy E>0, EZn= 0
Wniosek: Jeżeli {Xn}- niemal o tym samym rozkładzie, Wniosek: SPWL Bernouliego Centralne twierdzenie graniczne CTG
Dla niezależnych zm los o tym samym rozkładzie zachodzi równość: Twierdzenie Lindekerga-Levy'ego
Jeżeli {Xn}- ciąg niemal zm los o tym samym rozkładzie to:
Wniosek: Tw Moive'a- Leploce'a
Jeżeli to Przybliżenie jest wystarczające, gdy np. (1-p) 10 Mocne prawo wielkich liczb MPWL
Def. Mowimy, że dla ciągu zm los{Xn} zachodzi MPWL jeżeli istnieje ciąg liczb {cn} takie, że: pp
Tw…
…. a, b - stała => E(aX + bY) = aEX + bEY
Tw: Jeżeli X, Y - niezal i całkowalne to całkowalna jest zm. los. XY oraz E(XY) = E(X)∙E(Y)
Dowód:
X,Y - niezal=> P(X,Y) = PX PY X, Y - całkowalna, gdy = poza tym z tw. Fubiniego MOMENTY ROZKŁADU ZM. LOSOWYCH
Momenty zwykłe: Momenty absolutne: Momenty centralne: Absolutne momenty centralne: Df. Wariancja rozkładu: Odchylenie standardowe: -jeśli przesunę zm los…
…, gdy mają rozłączne nośniki, tzn. istnieją zbiory i oznaczamy .
Przykl: (R,B), λ-miara L, wtedy Bo Tw: Lebesgue'a o rozkładzie miary
Jeżeli γ i μ sa σ-skończone to istnieją miary: Dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa Def: Dystrybuantą rozkładu prawdopod. na (R,B) nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty:
W1. F jest niemalejaca
W2. F jest prawostronnie ciągła
* dystrybuanta ma lewostronna granice
W3. Tw: Jeżeli F…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)