To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
ZMIENNA LOSOWA Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Ω - zbiór zdarzeń elementarnych P - prawdopodobieństwo określone na F
F (tał) - klasa zbioru Ω o właściwościach:
Ω ∈ F
A ∈ F to A'=Ω - A ∈ F
Ai ∈ F to Ui=1 niesk Ai ∈ F
Def. (prawdopodobieństwa)
P:F → R
1.[dla każdego A ∈F ] P(A) ≥0
2.P(Ω)=1
3. [dla każdego A,B ∈ F i A ∩B=∅] P(A∪B) = P(A) + P(B)
Przykład 1
Ω={ω1, ω2} ω1 - orzeł; ω2 - reszka
P(ω1) = P(ω2) = ½
F = {Ω, {ω1},{ω2}, ∅}
P(A) = mocA/mocΩ
Przykład 2
Na linii telef. o dł. AB(=L) (przerwanie linii jest jednakowo możliwe) nastąpiło przerwanie. Oblicz prawd, że pkt C jest odległy od A nie mniej niż l
A C B
Ω - każdy pkt AB
P(A) = miara zb A/ miara Ω = m(A)/(Ω) = L-l / B-A = L-l / L = 1- l/L
Def. (zmiennej losowej)
Zmienną losową (X) nazywamy funkcję X: Ω→R i {ω: X(ω) i F(x) = P(X
4/8 x∈(1,2
7/8 x∈(2,3
x3
F(1) = P(X
(…)
… trafień do tarczy
Do tarczy oddana 3 niezależne strzały. Prawd. trafienia ½
xi pi
0 (1/2)^3 = 1/8
1 3*(1/2)^3 = 3/8
2 3*(1/2)^3 = 3/8
3 (1/2)^3 = 1/8
Def.(dystrybuanta zmiennej losowej)
F:R→<0,1> i F(x) = P(X<x) nazywamy dystrybuantą zm los X
Dla przykładu wyżej F(x)= { o x≤0
1/8 x∈(0,1>
4/8 x∈(1,2>
7/8 x∈(2,3>
x>3
F(1) = P(X<1)
Własności dystrybuanty zm los
lim/x→-∞/ F(x) = 0 i lim/x→∞/ F(x) = 1
F…
… (linia telef)
f(x) = { 0 dla x<0 lub x=L
c dla x∈<0,L>
Całka od +∞ do -∞ f(x)dx = całka od 0 do L cdx = cxL0 = LC = 1, to c = ½
P(l<x≤L) = całka l - L f(x)dx - całka l - L 1/Ldx = 1 - l/L
Rys
Dystrybuanta dla zm los typu ciągłego
F(x)= całka od -∞ do x f(t)dt
P(a<X≤b) = F(b) - F(a)
Typ skokowy P(a<X≤b) = F(b) - F(a) i (a,b nie są pkt skokowymi) PARAMETRY ZMIENNEJ LOSOWEJ
Def. E(X)= { Σxipi dla skokowej…
… = 1
Nierówność Czebyszewa
P{X - EX≥kδ} ≤ 1/(k^2), k∈R
Ta nierówność nie działa gdy rozkład jest silnie asymetryczny
Def. V = δ / XE
Współczynnik zmienności - określa stopień zróżnicowania zm los
Def. Kwantylem rzędu p-tego zm X nazywamy taką liczbę, że
P(X≤x) ≥ p i P(X≥x) ≥1-p
Mediana -kwantyl rzędu 1/2
Me = x to P(X ≤ x) ≥ ½ - P(X ≥ x) ≥ ½
Wyznaczanie mediany:
- jeżeli X zm los ciągła to Me…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)