To tylko jedna z 81 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
7.1.1. Przedmiot dynamiki
Dynamika jest działem mechaniki, który zajmuje się badaniem zależności
między ruchem ciał materialnych i siłami wywołującymi ten ruch. Podstawą
dynamiki są prawa Newtona przytoczone w punkcie 1.2. Aby prawa te były
słuszne, w mechanice newtonowskiej ruch odnosimy do układów inercjalnych.
Z tych praw wynika, że dotyczą one punktu materialnego. W dynamice prawa
te będziemy stosować nie tylko do punktu materialnego, ale także − po ich
odpowiednim przekształceniu − do układu punktów materialnych, ciała sztywnego
i bryły sztywnej.
Badanie ruchu punktu materialnego o masie m i przyśpieszeniu a, na który
działa siła F, sprowadza się do analizy drugiego prawa Newtona:
ma = F .
Powyższe równanie jest dynamicznym
równaniem ruchu punktu materialnego.
Jeżeli
wektor
wodzący
rozpatrywanego punktu materialnego
poprowadzony
z początku
O
nieruchomego układu współrzędnych x,
y, z (rys. 7.1) oznaczymy przez r, to,
jak
wiadomo
z
kinematyki,
przyśpieszenie a jest drugą pochodną
względem czasu wektora wodzącego.
Zatem równanie (7.1) przyjmie postać:
2
m
d r
= F.
dt 2
(7.2)
(7.1)
z
m
r
F
O
y
x
Rys. 7.1. Ruch punktu materialnego pod
działaniem siły
Jest to wektorowe równanie różniczkowe ruchu punktu materialnego. W
prostokątnym układzie współrzędnych, przedstawionym na rys. 7.1, równaniu temu
odpowiadają trzy skalarne dynamiczne równania ruchu punktu materialnego.
d2x
d2y
d2z
m 2 = Fx , m 2 = Fy , m 2 = Fz .
dt
dt
dt
(7.3)
W równaniach tych x, y, z są współrzędnymi wektora wodzącego r, czyli
współrzędnymi punktu materialnego, a Fx, Fy, Fz współrzędnymi siły F w
przyjętym układzie współrzędnych.
Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego (7.3) są w ogólnym
przypadku układem trzech równań różniczkowych i stanowią podstawę analizy
dynamiki punktu materialnego. Rozróżniamy tutaj dwie grupy zagadnień, które
omówimy w następnych punktach.
7.1.2. Pierwsze podstawowe zagadnienie dynamiki
Pierwsze podstawowe zagadnienie dynamiki polega na wyznaczaniu siły
działającej na poruszający się znanym ruchem punkt materialny. Jest ono również
znane jako zagadnienie proste dynamiki. Jego rozwiązanie wynika bezpośrednio
z drugiego prawa Newtona i nie nastręcza większych trudności. Jeżeli znamy
równanie ruchu punktu materialnego w postaci:
r = r (t ),
to w wyniku dwukrotnego różniczkowania względem czasu otrzymujemy
przyśpieszenie tego punktu:
a=
d2 r
dt
i po podstawieniu tej zależności do równania (7.1) otrzymujemy siłę, a właściwie
wypadkową wszystkich sił działających na dany punkt:
F=m
d2 r
.
dt 2
(7.4)
Przykład 7.1. Punkt materialny o masie m porusza się w płaszczyźnie xy
zgodnie z równaniami ruchu: x = 3cos2πt, y = 4sinπt , gdzie t jest czasem.
Wyznaczyć współrzędne siły działającej na ten punkt w funkcji współrzędnych
punktu x, y.
Rozwiązanie. Po zrzutowaniu wektorów występujących w równaniu (7.4) na
osie x i y otrzymujemy współrzędne siły działającej na nasz punkt materialny,
które wyrażają wzory:
d2x
d2y
Fx = m 2 , Fy = m 2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)