Równanie kp-opracowanie

Równanie kp
Obliczając energię elektronu w krysztale, stosujemy następujące przybliżenia:
1. przybliżenie adiabatyczne (zakładamy, że atomy nie drgają – rdzenie
atomowe są sztywno utwierdzone w swoich miejscach: ∆Ri = 0 )
2. przybliżenie jednolektronowe (zakładamy, że w krysztale o periodycznym
potencjale znajduje się tylko jeden elektron:
 h2 2 ˆ

∇ + Vkr ( r ) ψ ( r ) = Eψ ( r )
−
 2m

Wygodnym wyjściem do obliczenia energii elektronu w krysztale stanowi funkcja Blocha:
ψ (r ) = ei k r ⋅ uk (r )
 h2 2 ˆ

∇ + Vkr ( r )  e i k r u k ( r ) = E ( k )e i k r u k ( r )
−
 2m

Żeby rozwiązać powyższe równanie, musimy obliczyć pochodne:
∇ e i k r u = ik e i k r u + e i k r ∇ u
(
) (
)
∇ 2 e i k r u = ∇ ik e i k r u + e i k r ∇u = − k 2 e i k r u + ik e i k r ∇u + ik e i k r ∇ u + e i k r ∇ 2 u =
(
= −e i k r − k 2 u + 2ik ∇u + ∇ 2 u
)
Wstawiamy to, co uzyskaliśmy:
e
ik r
 h 2 2 ih 2 k

h2k 2 ˆ
∇ −
∇+
+ Vkr ( r )  u = e i k r Eu
−
m
2m
 2m

dzielimy obustronnie przez ei k r oraz odejmujemy
h 2k 2
u :
2m
2
2 2
 h 2 2


ˆ ( r )  − ih k ∇  u =  E − h k  u


∇ + Vkr 
−


2m
m 
2m 






|
ˆ - ten wyraz jest taki sam,
H0
jak w równaniu wyjściowym
||
ˆ
zaburzenie H zb
← równanie kp
||
E ' - łatwa do policzenia różnica
ˆ
Wyrażenie − ih∇ jest równoważne działaniu operatora pędu p :
ˆ
p = −ih∇
Trzeba też zauważyć, że funkcji u k (r ) o tym samym k może być wiele, dlatego trzeba je ponumerować.
Ostatecznie dostajemy równanie kp w postaci, od której wzięło swoją nazwę:
2 2
 h2 2 h
ˆ (r ) u (r ) =  E − h k  u (r )
ˆ

 n ,k
∇ + k p + Vkr  n ,k
−

2m
m
2m 




n odróżnia niezdegenerowane stany energetyczne dla danego wektora falowego k
... zobacz całą notatkę