To tylko jedna z 15 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
opracował: Radek Kołkowski
Funkcja Blocha
W sieci krystalicznej w każdej komórce elementarnej prawdopodobieństwo przebywania elektronu jest takie
samo – co wynika z periodyczności sieci:
ψ ( r + R ) ⋅ψ * ( r + R ) = ψ ( r ) ⋅ψ * ( r )
Jednak nie możemy na tej podstawie powiedzieć, że:
Jak porównać ze sobą
ψ (r + R ) = ψ (r )
ψ (r ) i ψ (r + R ) ?
)
T ( R1 ) , tzn. przesuwamy się w sieci do innej komórki
elementarnej, zmieniając położenie o wektor R1 = n1a1 + n2 a 2 + n3 a3 , gdzie a1 , a 2 , a3 to stałe sieciowe,
a n1 , n2 , n3 ∈ C .
Zadziałajmy na
ψ (r )
operatorem translacji
Jeśli dwie funkcje mają równe kwadraty, mogą się różnić co najwyżej o czynnik fazowy:
)
T ( R1 )ψ ( r ) = ψ ( r + R ) = ψ ( r )e i f ( R1 )
Wykonując ponownie translację o jakiś inny wektor
R2 otrzymujemy:
)
)
)
T ( R2 )T ( R1 )ψ ( r ) = T ( R2 )ψ ( r )e i f ( R1 ) = ψ ( r + R2 )e i f ( R1 ) = ψ ( r )e i f ( R1 ) e i f ( R2 )
Operacja ta jest równoważna przesunięciu o sumę wektorów
R1 i R2 :
)
)
)
T ( R1 + R2 ) = T ( R2 )T ( R1 )
)
T ( R1 + R2 )ψ ( r ) = ψ ( r + R1 + R2 ) = ψ ( r )e i f ( R1 + R2 )
Wynika stąd, że
ψ ( r )e i f ( R ) e i f ( R ) = ψ ( r )e i f ( R + R ) ,
1
2
1
2
f ( R1 ) + f ( R2 ) = f ( R2 + R1 )
a więc
Jedyną funkcją spełniającą powyższy warunek jest funkcja liniowa:
f (R ) = k ⋅ R
Tym sposobem dochodzimy do funkcji Blocha, która ma następującą postać:
ψ ( r ) = e i k r ⋅ u k (r ) ,
|
funkcja
wolnozmienna
gdzie funkcja u k (r ) jest periodyczna: u k ( r + R ) = u k ( r )
|
funkcja
szybkozmnienna
Funkcja Blocha spełnia narzucone warunki:
ψ ( r + R ) = e i k ( r + R ) ⋅ u k (r + R ) = e i k r e i k R ⋅ u k (r ) = ψ (r ) ⋅ e i k R = ψ ( r ) ⋅ e i f ( R )
Równanie kp
Obliczając energię elektronu w krysztale, stosujemy następujące przybliżenia:
1. przybliżenie adiabatyczne (zakładamy, że atomy nie drgają – rdzenie
atomowe są sztywno utwierdzone w swoich miejscach: ∆Ri = 0 )
2. przybliżenie jednolektronowe (zakładamy, że w krysztale o periodycznym
potencjale znajduje się tylko jeden elektron:
h2 2 ˆ
∇ + Vkr ( r ) ψ ( r ) = Eψ ( r )
−
2m
Wygodnym wyjściem do obliczenia energii elektronu w krysztale stanowi funkcja Blocha:
ψ (r ) = ei k r ⋅ uk (r )
h2 2 ˆ
∇ + Vkr ( r ) e i k r u k ( r ) = E ( k )e i k r u k ( r )
−
2m
Żeby rozwiązać powyższe równanie, musimy obliczyć pochodne:
∇ e i k r u = ik e i k r u + e i k r ∇ u
(
) (
)
∇ 2 e i k r u = ∇ ik e i k r u + e i k r ∇u = − k 2 e i k r u + ik e i k r ∇u + ik e i k r ∇ u + e i k r ∇ 2 u =
(
= −e i k r − k 2 u + 2ik ∇u + ∇ 2 u
)
Wstawiamy to, co uzyskaliśmy:
e
ik r
h 2 2 ih 2 k
h2k 2 ˆ
∇ −
∇+
+ Vkr ( r ) u = e i k r Eu
−
m
2m
2m
dzielimy obustronnie przez ei k r oraz odejmujemy
h 2k 2
u :
2m
2
2 2
h 2 2
ˆ ( r ) − ih k ∇ u = E − h k u
∇ + Vkr
−
2m
m
2m
|
ˆ - ten wyraz jest taki sam,
H0
jak w równaniu wyjściowym
||
ˆ
zaburzenie H zb
← równanie kp
||
E ' - łatwa do policzenia różnica
ˆ
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)