To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
*Rachunek zaburzeń i masa efektywna
Wychodzimy od równania kp:
h 2 2 ˆ
ih 2 k
h2k 2
u = E 'u
∇ + Vkr (r ) −
∇ u = E −
−
m
2m
2m
h 2k 2
E =E '+
2m
Zamiast rozwiązywać równanie dla całej sieci rozwiązujemy je wyłącznie dla czynnika Blochowskiego.
Stosujemy rachunek zaburzeń: rozpisujemy hamiltonian na sumę hamiltonianu zerowego i hamiltonianu
zaburzenia:
ˆ
ˆ
ˆ
H = H 0 + H zb
Przy czym znane jest działanie hamiltonianu zerowego na funkcję falową, która jest jego funkcją własną:
ˆ
H 0ψ m0 = Em0ψ m0
Problem polega na znalezieniu nieznanej funkcji własnej hamiltonianu będącego sumą
W tym celu rozpisujemy tą nieznaną funkcję w szereg funkcji znanych:
ˆ
ˆ
H 0 + H zb .
∞
ψ n = ∑ c nmψ m 0
m =1
Działamy na to hamiltonianem:
(
ˆ
ˆ
H 0 + H zb
)∑c
∞
m =1
∞
ψ m 0 = En ∑ cnmψ m 0
nm
m =1
Ponieważ hamiltonian jest operatorem liniowym:
∑c (
∞
m =1
nm
)
∞
ˆ
ˆ
H 0 + H zb ψ m 0 = ∑ cnm En ψ m 0
m =1
Możemy działanie hamiltonianu zerowego zastąpić przez jego wynik:
∑c (
∞
m =1
nm
)
∞
ˆ
Em 0 + H zb ψ m 0 = ∑ cnm En ψ m 0
m =1
Mnożymy obustronnie przez funkcję ψ l 0 ortonormalną do ψ m 0 i całkujemy po objętości kryształu:
*
∞
*
* ˆ
∑1 cnm Em0 ∫ψ l 0 ψ m 0 dV + ∫ψ l 0 H zb ψ m0 dV = ∑1 cnm En ∫ψ l*0 ψ m0 dV
m=
V
V
V
m=
*
*
Ponieważ ψ l 0 i ψ m 0 są ortonormalne, ψ l 0 ψ m 0 = δ lm (delta Kronneckera), stąd:
∞
∞
ˆ
cnl El 0 + ∑ cnm ∫ψ l*0 H zb ψ m 0 dV = cnl En
m =1
V
Możemy przyjąć, że l = n :
∞
*
ˆ
cnn En 0 + ∑ cnm ∫ψ n 0 H zb ψ m 0 dV = cnn En
m =1
V
A więc E n = E0 + ... (energia jest sumą energii z hamiltonianu zerowego i nieskończonej sumy całek z
zaburzeń). Po przekształceniach uzyskamy wzór, na którym opiera się rachunek zaburzeń:
∞
ˆ
En = En 0 + n0 H zb l 0 + ∑
ˆ
ˆ
n0 H zb l 0 l 0 H zb n0
En 0 − El 0
l =1
l ≠n
gdzie
ˆ
n0 H zb l 0
oznacza skrócony zapis całki
∫ψ
*
n0
ˆ
H zb ψ l 0 dV
V
ˆ
ˆ
Wszystko to działa przy założeniu, że H 0 H zb (hamiltonian zaburzenia daje niewielki wkład
energetyczny w porównaniu z hamiltonianem zerowym) – wówczas wystarczą pierwsze 3 lub 4 wyrazy
szregu, aby uzyskać poprawny wynik.
E n 0 − El 0
jest różnicą pomiędzy poziomami zerowymi
Łączymy rachunek zaburzeń z funkcją Blocha:
ˆ
(H
0
)
ˆ
+ H zb uk (r ) = En ( k ) uk (r )
gdzie, jak wynika z poprzednich przekształceń:
ˆ
H zb
ˆ
h2 2 ˆ
H0 = −
∇ + Vkr (r )
2m
ˆ
ih 2 k
hk⋅p
=−
∇=
m
m
Wstawiamy to do wzoru na energię w rachunku zaburzeń:
ih 2 k
ih 2 k
*
u −
m ∇ ul 0 dV ⋅ ∫ ul 0 − m ∇ un 0 dV
∞ ∫
ih 2 k
*
V
V
En = En 0 + ∫ u n 0 −
m ∇ un 0 dV + ∑
En 0 − El 0
l =1
V
*
n0
l ≠n
Dla k = 0 pochodna energii po wektorze falowym się zeruje: ∇ k E = 0 , co oznacza, że funkcja E (k ) ma w
tym punkcie ekstremum. W powyższym wzorze znika drugi człon, zależny liniowo od k .
Jednocześnie iloczyn skalarny k ⋅ ∇ możemy zapisać jako:
3
k ⋅ ∇ = ∑ ki
i =1
∂
∂xi
Zauważamy dodatkowo, że w liczniku mamy iloczyn dwóch całek wzajemnie
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)