PODSTAWY MECHANIKI
KWANTOWEJ
Postulaty mechaniki kwantowej
Obserwacje wielkości fizycznych opisujących stan układu są
reprezentowane przez operatory hermitowskie. Każdej wielkości fizycznej
przyporządkowany jest odpowiedni operator.
Funkcje zespolone, na które działają te operatory, reprezentują stany układu.
Nazywamy je funkcjami falowymi lub funkcjami stanu. Funkcja falowa w
sposób jednoznaczny i pełny określa stan układu. Funkcja falowa powinna
być różniczkowalna (jest wówczas też ciągła) i „całkowalna z kwadratem”,
tzn. całka z kwadratu modułu funkcji musi mieć wartość skończoną.
b
∫
2
ψ d3 x = P
a
Najczęściej używamy funkcji falowej w takiej postaci, że P=1. Mówimy, że jest ona
znormalizowana. Interpretacja fizyczna znormalizowanej funkcji falowej jest taka,
że |ψ( r)|2dxdydz oznacza prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w obszarze o
objętości dxdydz wokół punktu r .
Związki między operatorami są takie same, jak relacje między wielkościami
fizycznymi w fizyce klasycznej (zasada korespondencji).
Wielkość
obserwowana
Współrzędna
przestrzenna
Składowe pędu
Energia
kinetyczna
Oznaczenie w mechanice
klasycznej
x, y, z, lub x1, x2, x3
px, py, pz, p i = m
d xi
dt
p2
Ek =
2m
Postać operatora
w tzw. reprezentacji położeniowej
ˆ ˆ ˆ
x, y, z
ˆ
p i = − i
2
2
2
2
ˆ2
ˆ = p = − (∂ + ∂ + ∂ )
Ek
2m
2m ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2
2
ˆ = − ∆,
Ek
2m
Energia
potencjalna
Energia
całkowita
Wektor pędu
Wektor momentu
pędu
V(x, y, z)
p2
E = Ek + V =
+ V(x, y, z)
2m
p
M = r× p
∂
ˆ
, p = [p x , p y , p z ]
∂ xi
∂2
∂2
∂2
∆ =
+
+
− laplasjan
∂ x2 ∂ y2 ∂ z2
ˆ ˆ ˆ ˆ
V(x, y, z)
2
ˆ = E + V = − ∆ + V(x, y, z, t)
ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
H
k
2m
ˆ = -i∇
p
ˆ ˆ ˆ
M = r × p = − i ˆ × ∇
r
Jedynymi możliwymi rezultatami dokładnego (ostrego) pomiaru wielkości
fizycznej są wartości własne operatora, który tej wielkości odpowiada.
Prawdopodobieństwo otrzymania wartości własnej an jest równe
Jeśli pomiar ma charakter makroskopowy, w efekcie pomiaru otrzymujemy
wartość średnią (wartość oczekiwaną) operatora, zdefiniowaną jako:
ˆ
A
ψ
ˆ 3
ψ * ( r )Aψ( r )d x
ˆψ = ∫
= ψA
3
∫ ψ * (r )ψψr)d x
a w przypadku funkcji unormowanej:
ˆ
A
ψ
ˆ
ˆ
= ψ A ψ = ψ Aψ =
∫
ˆ 3
ψ * ( r )Aψ( r )d x
Zauważmy, że jeśli funkcja falowa jest funkcją własną operatora, to:
ˆ
A un = an un ,
ˆ
A
un
ψ = un
ˆ
= un A un = un an un = an un un = an
W przypadku dowolnej funkcji falowej:
ˆ
A
ψ
∑∑
m
=
∑
m
ˆ
cmu m A ∑ cn u n =
n
c *m c n a n δ mn =
n
∑
n
∑∑
m
c *m c n u m a n u n =
n
∑∑
m
c *m c n a n u m u n =
n
c *n c n a n = ∑ c n a n
2
n
jeśli funkcja falowa jest unormowana, to
ψ ψ
= 1,
ψ ψ
=
∑
cmu m
m
∑∑
m
c *m c n u m u n =
n
2
cn u n =
n
∑∑
m
∑
n
c *m c n δ mn =
∑
n
c *n c n = ∑ c n = 1
2
n
Zatem współczynniki c n , które stanowią wagę w wyrażeniu na wartość średnią, mają sens
prawdopodobieństwa otrzymania przy pomiarze wyniku równego wartości własnej an..
Funkcja falowa układu spełnia tzw.
(…)
… przy pomiarze wyniku równego wartości własnej an..
Funkcja falowa układu spełnia tzw. równanie Schrödingera (zależne od czasu):
∂ ψ({q i }, t) ˆ
= H({q i }, {p i }t) ψ({q i }, t)
∂t
∂ψ ˆ
∂ψ ˆ
ˆ
i
= H,
i
= Ek + V
∂t
∂t
i
Można pokazać, że gdy V nie zależy jawnie od czasu, to funkcja falowa zależy
następująco od czasu:
ψ({q i }, t) = e
-iω t
ϕ ({q i }),
E
ω=
t
i równanie Schrödingera (zależne od czasu) można sprowadzić do równania Schrödingera
niezależnego od czasu, które jest po prostu równaniem własnym operatora energii (mówimy
również o energetycznym stanie stacjonarnym:
ˆ
Hϕ = Eϕ ,
2
ˆ ˆ ˆ ˆ
−
Δϕ + V(x, y, z, t)ϕ = Eϕ
2m
Przykład 1. Cząstka swobodna.
2 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
( 2+
+
) = Eϕ
2
2
2m ∂ x
∂y
∂z
V = 0,
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ 2mE
+
+
=
ϕ,
2
2
2
2
∂x
∂y
∂z
2mE
= k2
2
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
+
+
= k 2ϕ ,
∂ x 2 ∂ y2…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)