Postulaty mechaniki kwantowej - wykład

Nasza ocena:

5
Pobrań: 7
Wyświetleń: 868
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Postulaty mechaniki kwantowej - wykład - strona 1 Postulaty mechaniki kwantowej - wykład - strona 2 Postulaty mechaniki kwantowej - wykład - strona 3

Fragment notatki:

PODSTAWY MECHANIKI
KWANTOWEJ
Postulaty mechaniki kwantowej
 Obserwacje wielkości fizycznych opisujących stan układu są
reprezentowane przez operatory hermitowskie. Każdej wielkości fizycznej
przyporządkowany jest odpowiedni operator.
 Funkcje zespolone, na które działają te operatory, reprezentują stany układu.
Nazywamy je funkcjami falowymi lub funkcjami stanu. Funkcja falowa w
sposób jednoznaczny i pełny określa stan układu. Funkcja falowa powinna
być różniczkowalna (jest wówczas też ciągła) i „całkowalna z kwadratem”,
tzn. całka z kwadratu modułu funkcji musi mieć wartość skończoną.
b

2
ψ d3 x = P
a
Najczęściej używamy funkcji falowej w takiej postaci, że P=1. Mówimy, że jest ona
znormalizowana. Interpretacja fizyczna znormalizowanej funkcji falowej jest taka,

że |ψ( r)|2dxdydz oznacza prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w obszarze o

objętości dxdydz wokół punktu r .
 Związki między operatorami są takie same, jak relacje między wielkościami
fizycznymi w fizyce klasycznej (zasada korespondencji).
Wielkość
obserwowana
Współrzędna
przestrzenna
Składowe pędu
Energia
kinetyczna
Oznaczenie w mechanice
klasycznej
x, y, z, lub x1, x2, x3
px, py, pz, p i = m
d xi
dt
p2
Ek =
2m
Postać operatora
w tzw. reprezentacji położeniowej
ˆ ˆ ˆ
x, y, z
ˆ
p i = − i
2
2
2
2
ˆ2
ˆ = p = −  (∂ + ∂ + ∂ )
Ek
2m
2m ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2
2
ˆ = −  ∆,
Ek
2m
Energia
potencjalna
Energia
całkowita
Wektor pędu
Wektor momentu
pędu
V(x, y, z)
p2
E = Ek + V =
+ V(x, y, z)
2m

p
  
M = r× p


ˆ
, p = [p x , p y , p z ]
∂ xi
∂2
∂2
∂2
∆ =
+
+
− laplasjan
∂ x2 ∂ y2 ∂ z2
ˆ ˆ ˆ ˆ
V(x, y, z)
2
ˆ = E + V = −  ∆ + V(x, y, z, t)
ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
H
k
2m


ˆ = -i∇
p
  
 
ˆ ˆ ˆ
M = r × p = − i ˆ × ∇
r
 Jedynymi możliwymi rezultatami dokładnego (ostrego) pomiaru wielkości
fizycznej są wartości własne operatora, który tej wielkości odpowiada.
Prawdopodobieństwo otrzymania wartości własnej an jest równe
Jeśli pomiar ma charakter makroskopowy, w efekcie pomiaru otrzymujemy
wartość średnią (wartość oczekiwaną) operatora, zdefiniowaną jako:
ˆ
A
ψ
 ˆ  3
ψ * ( r )Aψ( r )d x
ˆψ = ∫
= ψA
  3
∫ ψ * (r )ψψr)d x
a w przypadku funkcji unormowanej:
ˆ
A
ψ
ˆ
ˆ
= ψ A ψ = ψ Aψ =

 ˆ  3
ψ * ( r )Aψ( r )d x
Zauważmy, że jeśli funkcja falowa jest funkcją własną operatora, to:
ˆ
A un = an un ,
ˆ
A
un
ψ = un
ˆ
= un A un = un an un = an un un = an
W przypadku dowolnej funkcji falowej:
ˆ
A
ψ
∑∑
m
=

m
ˆ
cmu m A ∑ cn u n =
n
c *m c n a n δ mn =
n

n
∑∑
m
c *m c n u m a n u n =
n
∑∑
m
c *m c n a n u m u n =
n
c *n c n a n = ∑ c n a n
2
n
jeśli funkcja falowa jest unormowana, to
ψ ψ
= 1,
ψ ψ
=

cmu m
m
∑∑
m
c *m c n u m u n =
n
2
cn u n =
n
∑∑
m

n
c *m c n δ mn =

n
c *n c n = ∑ c n = 1
2
n
Zatem współczynniki c n , które stanowią wagę w wyrażeniu na wartość średnią, mają sens
prawdopodobieństwa otrzymania przy pomiarze wyniku równego wartości własnej an..
 Funkcja falowa układu spełnia tzw.

(…)

… przy pomiarze wyniku równego wartości własnej an..
 Funkcja falowa układu spełnia tzw. równanie Schrödingera (zależne od czasu):
∂ ψ({q i }, t) ˆ
= H({q i }, {p i }t) ψ({q i }, t)
∂t
∂ψ ˆ
∂ψ ˆ
ˆ
i
= H,
i
= Ek + V
∂t
∂t
i
Można pokazać, że gdy V nie zależy jawnie od czasu, to funkcja falowa zależy
następująco od czasu:
ψ({q i }, t) = e
-iω t
ϕ ({q i }),
E
ω=
t
i równanie Schrödingera (zależne od czasu) można sprowadzić do równania Schrödingera
niezależnego od czasu, które jest po prostu równaniem własnym operatora energii (mówimy
również o energetycznym stanie stacjonarnym:
ˆ
Hϕ = Eϕ ,
2
ˆ ˆ ˆ ˆ

Δϕ + V(x, y, z, t)ϕ = Eϕ
2m
Przykład 1. Cząstka swobodna.
 2 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
( 2+
+
) = Eϕ
2
2
2m ∂ x
∂y
∂z
V = 0,
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ 2mE
+
+
=
ϕ,
2
2
2
2
∂x
∂y
∂z

2mE
= k2
2
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
+
+
= k 2ϕ ,
∂ x 2 ∂ y2…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz