OPERATORY
Definicja operatora
Rozważmy przestrzeń liniową, będącą zbiorem ciągłych funkcji zespolonych, określonych w
pewnym przedziale domkniętym [a,b] liczb rzeczywistych.
W notacji Diraca, funkcje jako elementy przestrzeni zapisujemy w postaci:
f = f*
f = f
W przestrzeni tej występują działania (muszą spełniać szereg warunków, np.
muszą być przemienne oraz mieć elementy zerowe):
- dodawanie funkcji
- mnożenie funkcji przez liczbę zespoloną.
Przestrzeń jest unitarna, jeżeli dodatkowo jest zdefiniowane mnożenie skalarne
funkcji, które będziemy zapisywać w postaci:
Tzw. norma
b
f⊗ g= f g =
b
∫ f * g dx
f =
a
f f =
∫ f * f dx
a
Operator – odwzorowanie, przekształcające dowolną funkcję należącą do jakiejś
przestrzeni w inną funkcję, należącą do tej samej przestrzeni
ˆ
Af = g
Przykład 1:
Przykład 2:
ˆ
A= x
ˆ
Af = x f
lub
ˆ
A f = xf
ˆ ∂
B=
∂x
ˆf = ∂f
B
∂x
lub
ˆ f = ∂f
B
∂x
Łatwo sprawdzić, że działanie kolejnych operatorów na funkcje nie musi być przemienne
∂f
ˆˆ
ABf = x ,
∂x
∂
ˆˆ
AB = x ,
∂x
ˆˆ ˆˆ
AB − BA = − 1,
∂
∂f
ˆˆ
BAf =
(xf) = f + x
∂x
∂x
ˆˆ
ˆˆ
BA = 1 + BA
ˆˆ ˆˆ
ˆ ˆ
AB − BA = [A, B]
komutator
Dwa operatory komutują wzajemnie, jeśli ich komutator jest równy zero – to oznacza, że
są one przemienne. W przeciwnym przypadku operatory są nieprzemienne.
Równanie własne
Jeśli działanie operatora na pewną funkcję u sprowadza się do pomnożenia tej funkcji
przez liczbę, tzn. spełnione jest równanie:
ˆ
Au = au
in.
ˆ
Au = au
Równanie to nazywamy równaniem własnym (rozwiązanie tego równania –
zagadnieniem własnym) operatora, funkcje u – funkcjami własnymi, zaś liczby a –
wartościami własnymi operatora.
Jeśli jednej wartości własnej odpowiada więcej niż jedna (d 1) funkcja własna, to mówimy,
że wartość ta jest d – krotnie zdegenerowana (lub zwyrodniała).
Zbiór wartości własnych nazywamy widmem operatora.
Widmo może być:
Widmo
dyskretne
(oddzielone wartości)
ciągłe
(wartości z pewnego przedziału)
Przykład 1:
ˆ
p = − i
d
,
dx
ˆ
pf = af
df
− i
= af
dx
df
f(x) = Ce , spr : − i
= − i (ikCe ikx ) = kf,
dx
p = k
ikx
p jest więc wartością własną.
Jeśli nie byłoby dodatkowych warunków, to k mogłoby być dowolną liczbą rzeczywistą i
widmo badanego operatora miałoby charakter ciągły.
Często w fizyce ciała stałego na funkcję narzuca się warunek periodyczności (okresowości),
tzn. zakłada się, że:
f(x + L) = f(x)
L – okres funkcji. Wówczas:
+ L)
= eikx,
kL = 2π n,
n = 0,±1,±2,...
2π
2π i n x
kn =
n, fn = C exp(
)
L
L
eik( x
2π
pn = k =
n
L
Widmo dyskretne, wartości własne niezdegenerowane
pn
Przykład 2: załóżmy, że działanie operatora polega na mnożeniu macierzy 2x2 przez
„wektor” , który ma postać macierzy jednokolumnowej 1x2:
l1
u=
l2
ˆ = 1 0 ,
S
0 − 1
ˆ
Su = au
1 0 l1 al1
0 − 1 l = al ,
2 2
l1 al1
− l = al
2 2
a 1 = 1, l1 = 1, l 2 = 0,
a 2 = − 1, l1 = 0, l 2 = 1
1
a 1 = 1, u1 =
0
0
a 2 = − 1, u 2 =
1
(…)
… pominąć wpływ procesu pomiaru
na stan układu.
W układach mikroskopowych zaburzenie stanu układu związane z pomiarem jest na
ogół tak duże, że nie może być pominięte. Z tego względu zmiana kolejności pomiaru
dwóch różnych wielkości fizycznych może zasadniczo wpłynąć na uzyskane wyniki.
Każdemu rodzajowi obserwacji (pomiaru) jakiejś wielkości fizycznej odpowiada zespół
liczb (rzeczywistych), będących…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)