To tylko jedna z 25 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar Wielkości fizyczne występujące w mechanice i innych działach fizyki można podzielić na skalary i wektory . Aby określić wielkość skalarną, wystarczy podać tylko jedną liczbę. Wielkościami takimi są masa, czas, temperatura, objętość i inne. Do określenia wielkości wektorowej nie wystarcza podanie jednej liczby. Przykładem takiej wielkości jest siła. Aby ją określić, należy podać wartość, kierunek w przestrzeni oraz zwrot. W ogólnym przypadku aby określić wektor, należy znać: a) wartość bezwzględną wektora, zwaną modułem, b) kierunek, czyli prostą, na której leży wektor (linię działania), c) zwrot, d) punkt przyłożenia. Nie wszystkie wielkości wektorowe wymagają dla swego określenia podania wszystkich wymienionych cech. Z tego punktu widzenia rozróżniamy: wektory zaczepione , wektory przesuwne lub ślizgające się oraz wektory swobodne . Wektory zaczepione wymagają do ich określenia podania wszystkich czterech cech. Wektorów takich nie można przemieszczać ani przesuwać. Wektory przesuwne są określone za pomocą modułu, zwrotu oraz linii działania. Takie wektory mogą być jedynie przesuwane wzdłuż prostych, na których leżą. Wektory swobodne są określone przez moduł, zwrot oraz kierunek równoległy do ich linii działania. Oznacza to, że wektor swobodny można dowolnie przemieszczać, równolegle do kierunku jego działania. Graficznie wektory przedstawia się za pomocą odcinka skierowanego jak na rys. 2.1. Długość odcinka określa moduł wektora, kierunek – kierunek wektora (linię działania), a strzałka – zwrot wektora. Wektory będziemy oznaczać pogrubionymi literami – jedną literą albo dwoma, oznaczającymi początek i koniec wektora: . AB a = Moduł wektora będziemy oznaczać tak jak skalary albo za pomocą symbolu wartości bezwzględnej: a AB = = = a A . B Moduł jest na ogół wielkością mianowaną i jego wartość liczbowa zależy od przyjętych jednostek fizycznych. Dwa wektory swobodne przedstawiające tę samą wielkość wektorową są równe, jeżeli mają równe moduły, kierunki i zwroty. Aby dwa wektory przesuwne były równe, muszą ponadto leżeć na jednej prostej, a wektory zaczepione muszą być przyłożone w jednym punkcie. Równość wektorów a i b zapisujemy tak jak równość liczb, czyli a b = . W wyniku pomnożenia wektora a przez skalar k otrzymamy nowy wektor b równoległy do wektora a o module k razy większym od modułu wektora a . Zwrot wektora b będzie zależał od znaku skalara k. Jeżeli k 0, to zwrot wektora
(…)
… = a ybz − a zby ,⎫
⎪
c y = (a z b x − a x b z ),⎬
c z = a x b y − a y b x .⎪
⎭
(
)
(2.29)
2.3.3. Iloczyny złożone trzech wektorów
W poprzednich dwóch punktach omówiliśmy iloczyn skalarny oraz iloczyn
wektorowy dwóch wektorów. Wektory te mogły być w szczególności sumą kilku
wektorów. Obecnie podamy określenia iloczynów podwójnych złożonych z trzech
wektorów. Będzie to iloczyn mieszany trzech wektorów oraz podwójny iloczyn
wektorowy trzech wektorów. Ograniczymy się przy tym tylko do określenia tych
iloczynów oraz podania podstawowych zależności niezbędnych do przekształceń
wzorów wektorowych w dalszych rozdziałach. Dowody na podane niżej
przekształcenia można znaleźć w literaturze [6, 9, 11].
Iloczynem mieszanym trzech wektorów a, b i c nazywamy iloczyn skalarny
jednego z tych wektorów, np. wektora…
… są zgodne z treścią znanego twierdzenia Charles’a, że rzut
sumy wektorów na dowolną oś jest równy sumie rzutów poszczególnych wektorów
na tę oś.
2.3.1. Iloczyn skalarny
Iloczynem skalarnym (skalarowym) dwóch wektorów a i b nazywamy skalar
równy iloczynowi modułów obu wektorów przez kosinus kąta zawartego między
nimi.·
b
α
O
a
Rys. 2.8. Ilustracja do definicji iloczynu skalarnego
Jeżeli kąt między wektorami…
… wektor r. Przykładami pola skalarnego są: rozkład temperatury w
dowolnym ośrodku, rozkład ciśnienia hydrostatycznego w nieruchomej cieczy lub
potencjał pola elektrycznego.
b) Wektor jako funkcja położenia. W tym przypadku zarówno zmienna zależna
u, jak i zmienna niezależna r są wektorami. Funkcję
u = u(r)
(2.43)
nazywamy polem wektorowym. Przykładami takiego pola są: pole przyśpieszeń
ziemskich…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)